Иэн Стюарт - Значимые фигуры. Жизнь и открытия великих математиков

Некоторые теоремы Рамануджана остаются недоказанными и по сей день. Одна из них, «сдавшаяся» около 40 лет назад, особенно значительна. В статье 1916 г. Рамануджан исследовал функцию τ ( n ), определенную как коэффициент при x n –1в разложении

[(1 – x ) (1 – x 2) (1 – x 3)…] 24.

Таким образом, τ(1) = 1, τ(2) = –24, τ(3) = 252 и т. д. Эта формула исходит из глубокой и красивой работы XIX в. по эллиптическим функциям. Рамануджану τ( n ) нужна была для решения задачи о степенях делителей n , и ему необходимо было знать, насколько она велика. Он доказал, что ее величина не превосходит n 7, но предположил, что этот результат можно улучшить до n 11/2. В качестве гипотезы он предложил две формулы:

τ( mn ) = τ( m ) τ( n ),

если m и n не имеют общих делителей;

τ( p n +1) = τ( p ) τ( p n ) – p 11τ ( p n –1) для всех простых p.

С этими формулами несложно вычислить τ( n ) для любого n . Луи Морделл доказал их в 1919 г., но гипотеза Рамануджана о порядке величины τ( n ) пока сопротивляется всем усилиям.

В 1947 г. Андре Вейль, пересматривая старые результаты Гаусса, понял, что их можно применить к целым решениям различных уравнений. Следуя интуиции и воспользовавшись забавными аналогиями с топологией, он сформулировал серию технически довольно сложных результатов – гипотезы Вейля. Эти гипотезы заняли центральное место в алгебраической геометрии. В 1974 г. Пьер Делинь доказал их, а годом позже он и Ясутака Ихара вывели из них гипотезу Рамануджана. Тот факт, что для обоснования его невинной на первый взгляд гипотезы потребовался такой крупный и новаторский прорыв, указывает на масштаб и глубину интуиции Рамануджана.

Среди самых загадочных изобретений Рамануджана – «ложные тета-функции», которые он описал в последнем письме к Харди в 1920 г.; подробности были позже найдены в его потерянном блокноте. Якоби ввел тета-функции как альтернативный подход к эллиптическим функциям. Они представляют собой бесконечные ряды, которые преобразуются очень простым способом, если к переменной добавляются подходящие константы, а эллиптические функции можно строить путем деления одной тета-функции на другую. Рамануджан определил несколько аналогичных рядов и заявил большое число формул с их использованием. В то время вся идея представлялась всего лишь упражнением в обращении со сложными рядами, не связанным ни с чем больше в математике. Сегодня мы понимаем, что дело обстоит совсем не так. Эти ряды имеют важные связи с теорией модулярных форм, которые возникают в теории чисел и также связаны с эллиптическими функциями.

Аналогичная, но самостоятельная концепция – тета-функция Рамануджана – недавно оказалась полезной в теории струн – самой популярной попытке физиков объединить теорию относительности и квантовую механику.

Поскольку Рамануджан работал в такой необычной манере и получал верные результаты нестрогими методами, иногда возникают предположения, что мыслительные процессы Рамануджана были особыми или необычными. По рассказам, Рамануджан и сам говорил, что богиня Намагири являлась к нему во сне и сообщала формулы. Однако он вполне мог говорить так, просто чтобы избежать неловких обсуждений. По словам его жены С. Янаки Аммал Рамануджан, у него «никогда не было времени пойти в храм, потому что он был постоянно одержим математикой». Харди писал, что, по его мнению, «все математики мыслят, по существу, одинаково и Рамануджан не был исключением». При этом, правда, он добавлял: «Он сочетал в себе мощь обобщения, чувство формы и способность к быстрой модификации гипотез, которые зачастую просто поражали».

Рамануджан не был величайшим математиком своего времени, не был и самым плодовитым; но его репутация зиждется не только на его замечательной судьбе и трогательной истории «бедный мальчик выходит в люди». Идеи Рамануджана были достаточно влиятельными при его жизни, а теперь, с годами, они лишь набирают влияние. Брюс Берндт считает, что Рамануджан не только не был старомодным, но, напротив, обогнал свое время. Иногда проще доказать одну из замечательных формул Рамануджана, чем разобраться, каким образом он в принципе мог до нее додуматься. А многие из глубочайших идей Рамануджана только сейчас начинают получать достойную оценку. Я оставляю последнее слово Харди:

Один дар, которым обладает его математика, отрицать невозможно: это глубокая и несокрушимая оригинальность. Вероятно, он был бы более великим математиком, если бы его поймали и немного приручили в юности; он открыл бы больше нового, и это новое было бы, несомненно, более значительным. С другой стороны, он был бы меньше Рамануджаном и больше европейским профессором, и потерь здесь, возможно, было бы больше, чем приобретений.