Хорди Деулофеу: Дилемма заключенного и доминантные стратегии. Теория игр

Титульный лист Quesiti et inventioni diverse (1546) Никколо Тартальи.

Врач, математик, астроном, астролог и к тому же игрок, Кардано был одним из тех, кто вместе с Никколо Тартальей, Сципионом дель Ферро, Лодовиком Феррари и Рафаэлем Бомбелли внес вклад в развитие алгебры в Италии XVI века. О его жизни нам известно очень многое, так как он оставил после себя подробную автобиографию под названием De vita propria («Моя жизнь»). В отличие от многих современников, Кардано добился определенной известности, особенно как врач. Будучи настоящим представителем эпохи Возрождения, он интересовался многими науками, пытаясь охватить все знания, известные в то время. Однако весьма часто ему не удавалось избавиться от наивного, иррационального взгляда на вещи, а порой и предрассудков, что сделало его крайне противоречивой фигурой.

Среди его работ по математике выделим трактат «Великое искусство» (Ars magna), опубликованный в 1545 году. Это один из основных трудов эпохи Возрождения по алгебре. До этого, в 1539 году, он написал другую книгу под названием «Практическая арифметика» (Practica Arithmetica). Он также является автором одной из первых книг об играх и математике — «Книги об азартных играх» (Liber de ludo aleae), где впервые описываются вопросы, связанные с вероятностями, применительно к играм в кости. Приведенные им решения остроумны, но порой ошибочны. Эту книгу Кардано написал около 1564 года, но ее опубликовали лишь столетие спустя, включив в его первое полное собрание сочинений. Эта книга, которую можно считать первой работой о вероятностях, не вызвала такого отклика, как работы Паскаля и Ферма. Считается, что в переписке этих двух математиков азартные игры впервые анализируются с точки зрения теории вероятностей.

Фронтиспис книги Джероламо Кардано «Великое искусство»(Ars magna).

Хотя Тарталья не занимался анализом азартных игр целенаправленно в том смысле, как это делал Кардано, в своей книге Quesiti et inventioni diverse («Проблемы и различные изобретения», 1546) он предлагает читателю задачи и загадки, многие из которых популярны и в наши дни, например:

У некоего человека 17 лошадей. Он оставляет их в наследство сыновьям, завещав разделить коней между ними в пропорции 1/2, 1/3 и 1/9. Как сыновьям поделить наследство?

У некоего человека три фазана. Он хочет разделить их между двумя отцами и двумя сыновьями так, чтобы каждому из них достался фазан. Как это сделать?

Несомненно, одним из первых математиков, пытавшихся формально проанализировать азартные игры, был именно Кардано — возможно, наиболее одаренный и разносторонний математик того времени. Однако его работа об играх увидела свет лишь спустя столетие после его смерти, поэтому не привлекла заслуженного внимания. По-видимому, Кардано первым сформулировал задачу о разделении ставок, приведя также ее ошибочное решение, в котором уделено внимание подсчету очков каждого игрока, а не вероятностям выигрыша. Эту задачу также обсуждали в переписке Паскаль и Ферма. Мы поговорим о ней в главе 3.

Помимо итальянских алгебраистов, упоминания заслуживает французский математик Николя Шюке, в своей книге «Наука о числах в трех частях» (1484) представивший занимательные задачи, среди которых впервые упоминаются задачи на переливание. Приведем одну из них.

Даны два сосуда. Один вмещает 3 пинты, второй — 5. Как отмерить ровно 4 пинты с помощью переливаний? Ни на одном из сосудов нет никаких отметок, и все, что мы можем определить, — это заполнен сосуд полностью или нет.

Наконец, нужно упомянуть о Роберте Рекорде (1510—1558), математике из Уэльса, который, подобно Кардано, прожил очень интересную жизнь. Как и многие ученые мужи Возрождения, он занимался разными науками, в частности астрономией и медициной. Рекорд известен тем, что в своем труде The Whetstone of Witte («Точильный камень остроумия», 1557) впервые использовал знак «=» для обозначения равенства, указав, что нет ничего более равного между собой, чем две параллельные прямые. Хотя представить современную алгебру без этого знака непросто, он далеко не сразу стал использоваться повсеместно. Даже в XVIII веке наряду с ныне привычным обозначением встречались и другие, например ае (начальные буквы слова aequo — «равно»). В этой книге описываются занимательные задачи, которые по большей части решаются алгебраическими методами.