Хорди Деулофеу: Дилемма заключенного и доминантные стратегии. Теория игр

С древнейших времен история математики полна упоминаний об играх и занимательных задачах. В действительности с момента появления игр (параллельно этому началось развитие математики) и до XVII века серьезную и занимательную математику нельзя отделить друг от друга, так как во многом они тесно переплетались. В 1612 году во Франции была издана первая книга, посвященная исключительно занимательной математике, — Problemes plaisants et delectables qui se font par les nombres («Приятные и восхитительные проблемы, которые создают числа») Клода Гаспара Баше де Мезириака. С этого момента два течения в математике постепенно начали расходиться, хотя в дальнейшем им не раз доводилось пересекаться. К примеру, это произошло, когда Ферма и Паскаль разработали основы теории вероятностей. Великие Ньютон, Эйлер и Гаусс проявляли живой интерес к занимательным задачам; игры также фигурируют в работах Эдуарда Люка о числах. И лишь в середине XX века эти направления окончательно объединила теория игр.

Уже в двух великих цивилизациях древности, вавилонской и египетской, где математика носила исключительно практический характер, встречаются настольные игры и занимательные задачи. Первые упоминания о настольных играх, дошедшие до наших дней, относятся к египетской игре сенет и к настольной игре урских царей Вавилонии. С другой стороны, в одной из древнейших рукописей о математике — папирусе Ахмеса, который датируется примерно 1650 годом до н. э., наряду с практическими задачами о делении или вычислении среднего встречаются математические задачи без контекста, которые можно назвать занимательными. Этот древнеегипетский задачник, найденный в гробнице Рамзеса II примерно в 1850 году и приобретенный Александром Генри Риндом в 1856 году в Луксоре, в настоящее время хранится в Британском музее в Лондоне.

Супруга Рамзеса II царица Нефертари за игрой в сенет. Этот рисунок находится на стене передней залы ее гробницы.

Например, задача 24 папируса Ахмеса гласит: «Целое и седьмая его часть дают 19», что на современном языке выглядит так: «Найдите такое число, которое при сложении с одной седьмой его частью дает 19». Эта задача решается элементарно с помощью уравнения первой степени, но подобный прием, очевидно, был неизвестен древним египтянам. В папирусе Ахмеса приводится интересный способ ее решения, называемый методом ложного положения, который использовался древними во многих арифметических задачах. В этой задаче он применяется следующим образом. Ахмес предполагает, что решением является 7, и выполняет следующие действия: 7+ 7·1/7 = 8. Результат не равен 19, следовательно, нужно найти число, которое при умножении на 8 дает 19. Иными словами, нужно поделить 19 на 8. Эту операцию древние египтяне выполняли так:

(8 ×) 2 = 16,

(8 ×) 1/4 = 2,

(8 ×) 1/8 = 1.

Откуда следует: 19 : 8 = 2 + 1/4 + 1/8.

Следовательно, 7 нужно умножить на (2 + 1/4 + 1/8). Имеем: 14 + (1 + 1/2 + 1/4) + (1/2 + 1/4 + 1/8) = 16 + 1/2 + 1/8, что в современной записи выглядит как 16 + 5/8, или 16,625.

Одна из древнейших известных нам настольных игр называется сенет. В древнеегипетских гробницах найдены многочисленные рисунки и мозаики, где изображены игроки в сенет. Несмотря на это, ее точные правила неизвестны, хотя в 1978 году Тимоти Кендалл воссоздал игру на основе имеющихся источников. Он отмечает, что сенет играл важную роль в похоронных обрядах: усопший должен был сыграть партию с судьбой в присутствии бога Осириса. В «Книге мертвых» говорится, что от результата этой партии зависела дальнейшая загробная жизнь. Задача этой игры, рассчитанной на двух игроков, — первым довести до конца доски семь фишек. Вместо игральных костей используются четыре палочки, плоские с одной стороны и выпуклые с другой. Броском палочек можно получить одно из пяти возможных значений — по числу палочек, упавших плоской стороной вверх.

Доска для игры в сенет. Изображено начальное положение игры. Слева — четыре палочки, которые использовались вместо игральных костей.