Хорди Деулофеу - Дилемма заключенного и доминантные стратегии. Теория игр

V = 0,9 p( правый угол) + 0,1 p( центр) + 0,8 (1 - p( правый угол) - p( центр)).

Если же вратарь прыгнет в левый от себя угол, то

V = 0,6 p( правый угол) + 0,7 p( центр) + 0,8 (1 - p( правый угол) - p( центр)).

Мы получили систему из трех линейных уравнений. Ее решением будет являться p( правый угол) = 0,37; p( центр) = 0,19; p( левый угол) = 1 - p( правый угол) - p( центр) = 0,44. Цена игры для бьющего равна V = 0,71.

Аналогично можно рассчитать вероятности для каждой из трех чистых стратегий вратаря, но эту задачу мы оставляем читателю.

Несомненно, теорема о минимаксе и метод, показанный в прошлых разделах, как для чистых, так и для смешанных стратегий, — это мощные инструменты для решения матричных игр и определения оптимальных результатов. Эта теорема применяется в экономике, политике, спорте и военном деле. С ее помощью были решены не только задачи, в которых имеются доминантные стратегии или седловая точка, но также задачи без седловой точки, в которых можно определить среднюю цену игры, оптимальную для обеих сторон, и необходимые смешанные стратегии.

Несмотря на это, во всех случаях мы предполагали, что выполняется одно условие: игроки действуют «разумно». Иными словами, каждый игрок считает, что его соперник всегда действует в своих интересах и использует стратегию, оптимальную с этой точки зрения. Но что происходит, если это не так и если один из игроков пытается обмануть оппонента?

Мортон Дэвис во введении в теорию игр рассказывает о различных исследованиях, которые проводились в 1950—1970-е годы. Целью исследований было наблюдение за поведением реальных игроков в матричных играх. Так, в 1964 году Ричард Брейер придумал игру, разрешимую в чистых стратегиях, то есть в этой игре было легко найти точку равновесия. Игрокам говорили, что против них в одних случаях будет играть опытный игрок, в других — игрок, который будет действовать случайным образом. В действительности игроки всегда играли против экспериментатора, который менял стратегию: иногда он следовал оптимальной стратегии Б, иногда действовал случайным образом. Платежная матрица этой игры выглядела так:

Игру можно быстро решить с помощью теоремы о минимаксе. Точка равновесия — элемент матрицы (б, Б), равновесное значение равно 1. Следовательно, игрок всегда должен выбирать стратегию б, экспериментатор — стратегию Б, и в каждой партии выигрыш игрока будет равен 1.

Опыты показали, что игроки применяли стратегию б, когда видели, что экспериментатор всегда придерживается стратегии Б. Напротив, когда экспериментатор действовал случайным образом, они меняли стратегию и обычно применяли вариант а, чтобы получить максимальный выигрыш, осознавая при этом возможность проигрыша. Последующие опросы показали, что более половины игроков считали, что систематическое следование стратегии Б со стороны экспериментатора «глупо», так как он соглашался с проигрышем в 1. Если бы он применял другие стратегии, то, «возможно», мог бы улучшить свой результат. Игроки не обратили внимания, что если бы они следовали стратегии б, то экспериментатору был бы гарантирован проигрыш минимум в 1.

Этот и другие похожие эксперименты показали, что разумные действия, направленные на увеличение выигрыша, встречаются не всегда. Люди предпочитают стратегии, которые, как кажется, приносят больший выигрыш. Лишь после того, как они несколько раз убедятся в обратном, они приходят к оптимальной стратегии. Если же в игре нет седловой точки и нужно применять смешанные стратегии, то реальное поведение игроков еще сложнее. В этом случае игрокам был известен алгоритм решения, но, несмотря на это, больше половины не стали утруждать себя вычислениями и действовали интуитивно. Как правило, их действия отличались от оптимальной смешанной стратегии.

Все подобные эксперименты показывают, что в реальных ситуациях нужно ставить под сомнение «разумные» предположения о том, что, например, соперник будет действовать оптимальным образом и в соответствии со своими интересами. Возможно, объяснение кроется в том, что минимаксная стратегия является защитной: она гарантирует результат, который будет оптимальным, когда соперник будет действовать разумно. Однако почему игрок не будет стараться получить больше гарантированного минимума?