Хорди Деулофеу - Дилемма заключенного и доминантные стратегии. Теория игр

В этой главе мы проанализировали игры с нулевой суммой и пришли к выводу: в играх такого типа существует оптимальная стратегия для каждого игрока, а также цена игры, которая позволяет определить средний выигрыш каждого. Исходные данные подобных игр всегда можно представить в виде так называемой платежной матрицы. В ней строки соответствуют стратегиям первого игрока, столбцы — стратегиям второго игрока. Вкратце игры для двух игроков с нулевой суммой решаются следующим способом.

Нужно вычислить максиминное значение (максимальное из минимальных) для первого игрока и минимаксное (минимальное из максимальных) для второго. Если эти значения совпадают, то оптимальные стратегии для обоих игроков имеют одинаковый результат (он называется ценой игры), и игра решена. В этом случае стратегии называются чистыми.

Если же максиминное и минимаксное значения не совпадают, нужно отложить в сторону чистые стратегии (с помощью которых определялись минимаксное и максиминное значения) и рассмотреть все чистые стратегии для каждого игрока, присвоив каждой стратегии определенную вероятность. Эти вероятности (их сумма будет равна 1) определят оптимальную смешанную стратегию и позволят рассчитать среднюю цену игры для каждого игрока.

Определение вероятностей и средней цены для каждого игрока осуществляется решением системы линейных уравнений (число уравнений зависит от количества стратегий), где неизвестными являются искомые вероятности и средняя цена игры. Если средняя цена для обоих игроков совпадает, то игра решена, и вероятности, найденные для каждого игрока, определяют его оптимальную стратегию, которая будет смешанной (так как в ней будет присутствовать элемент случайности).

Если найденные средние цены игры отличаются либо если одна из вероятностей оказалась отрицательной, то игра не решена. В этом случае ее нужно проанализировать снова, чтобы определить, возможно ли найти какую-либо доминантную стратегию. Если это невозможно, то описанный нами метод неприменим.

Во всех задачах, представленных в прошлой главе, речь шла о соперничестве: выигрыш одного игрока всегда равнялся проигрышу другого, поэтому подобные игры называются играми с нулевой суммой. Это конфликтные ситуации, участники которых имеют прямо противоположные цели. Каждый игрок стремится получить максимальный выигрыш, что будет означать максимальный проигрыш соперника.

В этой главе мы рассмотрим немного другую тему. Целью игроков по-прежнему будет выигрыш, все так же будет существовать конфликтная ситуация, но это еще не все. С одной стороны, выигрыш одного не обязательно будет соответствовать проигрышу другого, и будут существовать стратегии, в которых выиграть могут оба игрока. С другой стороны, будут существовать ситуации, в которых сотрудничество будет выгодным для обеих сторон. Таким образом, в играх возникают коммуникация и взаимное доверие, но также и угрозы, цель которых — заставить соперника выполнить обещанное. В этих случаях речь идет о не полностью конфликтных ситуациях, и мы будем различать кооперативные и некооперативные стратегии .

Вспомним, что теория игр изучает принятие решений. В настоящей главе этому аспекту уделено особое внимание, так как во многих ситуациях, о которых мы расскажем далее, будет присутствовать выбор между соперничеством и сотрудничеством. Какие решения будут принимать игроки в этих условиях? Подобные ситуации порождают так называемые дилеммы , так как оба игрока могут соперничать или сотрудничать друг с другом, и неясно, какой вариант окажется более выгодным, поскольку все будет зависеть от решения, принятого оппонентом. В целом сотрудничество игроков принесет выгоду обоим, и результат будет наилучшим для каждого из игроков, в то время как соперничество приведет к печальным последствиям. Если бы существовали лишь две эти ситуации, то дилеммы бы не было. Однако если один из игроков пытается сотрудничать с другим, а тот решает соперничать, последний будет иметь преимущество, причем оно будет больше, чем при сотрудничестве. Таким образом, дилемма очевидна.

Ввиду сложности игр подобного типа, в этой главе математические аспекты неизбежно будут смешиваться с психологическими и даже моральными. Поэтому решения часто не будут строгими решениями с точки зрения математики, а будут представлять лишь возможные исходы, которые зависят от действий игроков. Несмотря на это, подобные игры вызывают больший интерес, чем описанные в прошлой главе, так как намного чаще встречаются в реальной жизни. В реальных конфликтных ситуациях соперничество и сотрудничество очень часто сочетаются.