Владимир Арнольд - Теория катастроф

Катастрофами называются скачкообразные изменения, возникающие в виде внезапного ответа системы на плавное изменение внешних условий. Чтобы понять, что такое теория катастроф, нужно вначале познакомиться с элементами теории особенностей Уитни.

В 1955 г. американский математик Хасслер Уитни опубликовал работу "Об отображениях плоскости на плоскость", заложившую основу новой математической теории — теории особенностей гладких отображений.

Отображение поверхности на плоскость — это сопоставление каждой точке поверхности точки плоскости. Если точка поверхности задана координатами (х 1, х 2) на поверхности, а точка плоскости координатами (y 1, у 2) на плоскости, то отображение задается парой функций у 1= f 1(х 1, х 2), у 2= f 2(х 1, х 2). Отображение называется гладким, если эти функции гладкие (т. е. дифференцируемые достаточное число раз, например многочлены).

Отображения гладких поверхностей на плоскость окружают нас со всех сторон. Действительно, большинство окружающих нас тел ограничено гладкими поверхностями. Видимые контуры тел — это проекции ограничивающих тела поверхностей на сетчатку глаза. Приглядываясь к окружающим нас телам, например к лицам людей, мы можем изучить особенности видимых контуров.

Уитни заметил, что в случаях "общего положения" [1] То есть для всех случаев, кроме некоторых исключительных. встречаются особенности лишь двух видов. Все другие особенности разрушаются при малом шевелении тел или направлений проектирования, в то время как особенности этих двух видов устойчивы и сохраняются при малых деформациях отображения.

Примером особенности первого вида — она названа складкой Уитни — является особенность, возникающая при проектировании сферы на плоскость в точках экватора рис. 1). В подходящих координатах это отображение задается формулами у 1= x 2 1, у 2= х 2. Проектирования поверхностей гладких тел на сетчатку в общих точках имеют именно такую особенность, и тут нет ничего удивительного. Удивительно то, что кроме этой особенности (складки) мы всюду встречаем еще ровно одну особенность, но практически никогда ее не замечаем.

Рис. 1. Складка проектирования сферы на плоскость

Эта вторая особенность названа сборкой Уитни, и получается она при проектировании на плоскость поверхности, изображенной на рис. 2. Эта поверхность задана формулой у 1= х 3 1+ х 1х 2в пространстве с координатами (х 1, х 2, у 1) и проектируется на горизонтальную плоскость (х 2, у 1).

Рис. 2. Сборка проектирования поверхности на плоскость

Таким образом, отображение задается в локальных координатах формулами у 1= х 3 1+ х 1х 2, у 2= х 2.

На горизонтальной плоскости-проекции выделяется полукубическая парабола с точкой возврата (острием) в начале координат. Эта кривая делит горизонтальную плоскость на две части: меньшую и большую. Точки меньшей части имеют по три прообраза (в них проектируется три точки поверхности), точки большей части — лишь по одному, точки кривой — по два. При подходе к кривой из меньшей части два прообраза (из трех) сливаются и исчезают (в этом месте особенность — складка), при подходе к острию сливаются все три прообраза.

Уитни доказал, что сборка устойчива , т. е. всякое близкое отображение имеет в подходящей близкой точке подобную же особенность (т. е. такую особенность, что продеформированное отображение в подходящих координатах в окрестности указанной точки записывается теми же формулами, какими записывалось исходное отображение в окрестности исходной точки). Уитни также доказал, что всякая особенность гладкого отображения поверхности на плоскость после подходящего малого шевеления рассыпается на складки и сборки .

Рис. 3. Видимый контур тора

Таким образом, видимые контуры гладких тел общего положения имеют точки возврата в местах, где проектирования имеют сборки и не имеют других особенностей: приглядевшись, мы можем найти эти точки возврата в чертах каждого лица или тела. Рассмотрим, например, поверхность гладкого тора (скажем, надутой шины). Тор обычно рисуют так, как это изображено на рис. 3. Если бы тор был прозрачным, мы увидели бы видимый контур, изображенный на рис. 4: соответствующее отображение тора на плоскость имеет четыре сборки. Таким образом, концы линии видимого контура на рис. 3 — это точки возврата, в этих точках линия видимого контура имеет полукубическую особенность.