Владимир Арнольд - Теория катастроф

Рис. 25. Вариант бифуркации коразмерности 2 вблизи резонанса 1 : 4

При медленном изменении параметра наблюдается качественно новое явление затягивания потери устойчивости (рис. 26).

Рис. 26. Затягивание потери устойчивости при динамической бифуркации

После того как параметр прошел через бифуркационное значение, соответствующее рождению цикла, т. е. мягкому возникновению автоколебаний, система остается в окрестности потерявшего устойчивость состояния равновесия еще некоторое время, за которое параметр успевает измениться на конечную величину. И лишь затем система скачком переходит на родившийся в момент бифуркации автоколебательный режим, так что потеря устойчивости кажется жесткой.

Интересно, что этот эффект — особенность динамической бифуркации — имеет место только в аналитических системах, В бесконечно-дифференцируемом случае величина затягивания потери устойчивости, вообще говоря, стремится к нулю при уменьшении скорости изменения параметра.

Затягивание в модельном примере описано Шишковой в 1973 г. Доказательство того, что это явление имеет место во всех типичных аналитических системах с медленно меняющимся параметром, было получено в 1985 г. А. И. Нейштадтом.

Рис. 27. Колебания численности популяции в простейших мальтузианской модели с учетом конкуренции

Известно, что улов горбуши колеблется с периодом два года. Исследование экологических моделей, призванных объяснить эти колебания, привело А. П. Шапиро (1974) и затем Р. Мея к экспериментальному открытию каскадов удвоений периода : последовательные бифуркации удвоения быстро следуют одна за другой, так что на конечный отрезок изменения параметра приходится бесконечное число удвоений. Это явление наблюдается, например, для простейшей модели мальтузианского размножения с конкуренцией — для отображения х → Ахе -х(рис. 27). Здесь множитель е -х, уменьшающий коэффициент мальтузианского размножения А при увеличении размера популяции х, учитывает конкуренцию. При малых значениях параметра А устойчива неподвижная точка х = 0 (популяция вымирает). При больших значениях А аттрактором последовательно становятся ненулевая неподвижная точка (бифуркация А 0), цикл периода 2, рис. 27, как для горбуши (бифуркация удвоения, А 1) периода 4 (А 2) и т. д. (рис. 28).

Рис. 28. Каскад удвоений периода

Анализируя этот экспериментальный материал, М. Фейгенбаум (1978) обнаружил замечательное явление универсальности каскадов удвоений. Последовательность значений параметра, соответствующих последовательным удвоениям, асимптотически ведет себя как геометрическая прогрессия. Знаменатель прогрессии

является универсальной (не зависящей от конкретной системы) постоянной, вроде чисел π или ε. Такие же каскады удвоений предельных циклов наблюдаются и в типичных эволюционных системах, описываемых зависящими от параметра дифференциальными уравнениями.

В отличие от удвоения периода, утроение является явлением коразмерности два. Каскады утроений (и других увеличений периода) становятся типичными не в однопараметрических, а в двупараметрических семействах систем. В этих случаях универсальные показатели оказываются комплексными.

В теории двупараметрических бифуркаций за последние годы достигнуты значительные успехи, в частности, Г. Жолондеком к 1987 г. решены давно стоявшие задачи о числе предельных циклов, рождающихся из нулевого положения равновесия в системах типа Лотка — Вольтерра (рис. 10), описываемых касающимися сторон угла векторными полями на плоскости.

Однако задача о бифуркациях в системе

z = εz + Az 2z + z 3,

к которой сводится исследование потери устойчивости автоколебаний в единственном оставшемся не исследованным случае коразмерности 2, все еще не поддается усилиям математиков. На плоскости комплексного параметра А выделено 48 областей (рис. 29), в которых бифуркации при обходе малого комплексного параметра ε вокруг нуля происходят по-разному. (Не доказано даже, что полное число таких областей конечно, хотя предполагается, что их всего 48.)