Агниджо Банерджи - Эта странная математика. На краю бесконечности и за ним

В 2006 году Перельману была присуждена Филдсовская премия, которую считают самой престижной наградой в математике и часто приравнивают по статусу к Нобелевской. Затем, в 2010 году, было объявлено, что его работа отвечает критериям для вручения 1 000 000 долларов от Математического института Клэя. Однако Перельман от обеих наград отказался, по всей видимости, по соображениям этического порядка. Во-первых, по его мнению, они не отражали важный вклад, который внесли в решение проблемы другие ученые, в первую очередь американский математик Ричард Гамильтон, чью работу Перельман развил и продолжил. Кроме того, он был недоволен неэтичным поведением некоторых исследователей, в особенности китайских математиков Чжу Сипина и Цао Хуайдуна, опубликовавших в 2006 году статью с результатами проверки доказательства Гамильтона – Перельмана, но при этом пытавшихся создать впечатление, что авторы доказательства – они сами. Позже они отозвали исходную статью, озаглавленную “Полное доказательство гипотез Пуанкаре и геометризации: приложение теории Гамильтона – Перельмана о потоках Риччи”, и опубликовали новый вариант, с более скромными формулировками. Но сделанного не вернуть: Перельман был глубоко разочарован как их поведением, так и отсутствием осуждения их действий со стороны других математиков. В интервью журналу The New Yorker в 2012 году он сказал: “Пока я был не на виду, у меня имелся выбор: либо поднять шумиху [по поводу нарушения этических норм], либо ничего не делать и позволить обращаться с собой как с послушной собачкой. Теперь, когда я стал настолько заметным, я не могу оставаться собачкой и молчать. Вот почему мне пришлось уйти”. Не совсем понятно, то ли Перельман навсегда ушел из математики, то ли работает себе спокойно над другими проблемами. Ясно одно: быть в центре внимания – не для него. “Меня не интересуют деньги и слава, – сказал он после присуждения ему награды Математического института Клэя. – Я не хочу находиться на всеобщем обозрении, как животное в зоопарке”. Так или иначе, решив наконец одну из самых важных и сложных задач топологии, он прочно занял свое место в истории.

Еще одна проблема, много лет не дававшая покоя топологам, – гипотеза триангуляции. И она тоже не так давно была разрешена – правда, в этом случае исходное предположение было опровергнуто. В ней, по сути, ставится вопрос: возможно ли любое геометрическое пространство разделить на более мелкие фрагменты? Гипотеза предполагает, что да. Сферу, например, можно без остатка разделить на треугольные “плитки”. Правильный икосаэдр, или многогранник с двадцатью гранями в форме правильных треугольников, – вот грубое приближение сферы, однако его можно бесконечно улучшать, увеличивая число граней и меняя форму треугольников. Точно так же “триангулируется”, то есть разбивается на треугольники, и тор. Трехмерное пространство можно “нарезать” на произвольное количество тетраэдров. Но возможно ли триангулировать геометрические объекты во всех пространствах более высокой размерности, разбивая их на имеющиеся там аналоги треугольника? В 2013 году румынскому математику, тогда профессору Калифорнийского университета в Лос-Анджелесе Чиприану Манолеску удалось доказать, что это невозможно. Манолеску, вундеркинд и единственный человек, кому удалось три раза подряд набрать максимальное количество баллов на Международной математической олимпиаде, впервые столкнулся с проблемой триангуляции, будучи аспирантом в Гарварде в начале 2000-х годов. В то время он не решился заняться “неприступной задачей”, но годы спустя понял, что та самая теория, о которой он писал в своей кандидатской диссертации (посвященной так называемым гомологиям Флоера), – ключ к решению проблемы. Воспользовавшись результатами своих более ранних исследований, он сумел доказать, что в размерностях 5 и выше существуют многообразия, для которых триангуляция невозможна, – опровергнув тем самым гипотезу триангуляции. Это очень серьезное достижение, учитывая, что с использованием иных методов анализ даже четырехмерного пространства на возможность триангуляции – задача чересчур сложная.

В начале 1980-х американский геометр Уильям Тёрстон, умерший в 2012 году, задумал проект, в рамках которого предполагалось описать все существующие трехмерные многообразия. Для двух измерений подобная задача уже решена. Вот двумерные многообразия: сфера, тор, двойной тор (крендель), тройной тор и так далее. К ним можно добавить неориентируемые поверхности, такие как бутылка Клейна и проективная плоскость (она получается, если соединить края двух лент Мёбиуса с одинаковой закруткой). Тёрстон применял метод, позволяющий представить многие из этих двумерных многообразий многоугольниками. Например, если взять квадрат и соединить его противоположные стороны, получится тор. С двойным тором уже сложнее, но Тёрстон победил и его. Он получил двойной тор, попарно соединив определенные стороны восьмиугольника, вложенного в гиперболическую плоскость. Такое вложение позволяет избежать проблемы, возникающей при попытке сделать то же с обычным евклидовым восьмиугольником. Иначе бы двойной тор имел точку, общую для всех вершин восьмиугольника, сумма углов которого равнялась бы 1080 градусам, а не 360, как требуется. В гиперболической геометрии – той, что имеет дело с седловидными поверхностями, или, точнее, поверхностями, в любой своей точке искривляющимися противоположным образом по сравнению со сферой, – восьмиугольники правильного размера могут иметь углы 45 градусов, что решает проблему.