Хаим Шапира - Восемь этюдов о бесконечности. Математическое приключение

Бесконечно много.В конце процесса в комнате будет бесконечно много мячей, потому что на каждом из бесконечного количества этапов в ней прибавляется по одному мячу (два заносят в комнату, но один из нее выносят). Математики формулируют это утверждение так: для любого n можно точно определить момент, в который число мячей равно n + 1. Следовательно, в 0:00 в комнате окажется бесконечно много мячей.

Ни одного.В 0:00 в комнате не будет ни одного мяча, потому что для любого мяча можно точно указать момент, в который его выносят из комнаты. Мяч номер 1 выносят, когда часы показывают полминуты до полуночи, мяч номер 2 – за четверть минуты до полуночи и так далее. Говоря математическим языком, n -й мяч выносят из комнаты в точности за ½ в n -й степени минуты до полуночи.

Если бы на эту тему проводился опрос, за какой ответ проголосовали бы вы?

Здесь важно понимать – хотя согласиться с этой мыслью может быть немного трудно, – что количество моментов, остающихся до полуночи, бесконечно, потому что оставшийся промежуток всегда можно разделить на два.

Я бы сказал, что правильный ответ – «бесконечно много», и даже рискнул бы утверждать, что те, кто выбирает второй ответ, вероятно, не могут отрешиться от схемы конечных рассуждений. Их стремление узнать, сколько мячей окажется в комнате «в конце» процесса, похоже на стремление узнать, какие числа находятся «в конце» последовательности натуральных чисел, то есть «в конце» ряда 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, …, 12 367, 12 368…

Все мы знаем и понимаем, что множество натуральных чисел бесконечно, и никто на свете не может сказать, какие числа находятся «в конце» их ряда, просто потому, что у этого ряда нет никакого конца.

Интересно отметить, что Блаженный Августин (354–430) полагал, что Бог видит и знает все бесконечное количество натуральных чисел и их свойства и тем самым каким-то образом превращает их в конечное множество (но это, разумеется, лишь точка зрения Блаженного Августина).

Вот две другие вариации парадокса Росса – Литлвуда.

У нас снова есть бесконечный ряд теннисных мячей с номерами 1, 2, 3, 4… выложенный перед входом в огромную пустую комнату. За полминуты до полуночи в комнату вносят мячи 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и 10 и выбрасывают из нее мяч номер 1. За четверть минуты до полуночи в комнату вносят мячи 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19 и 20 и выбрасывают из нее мяч номер 2 – и так далее.

Вопрос, разумеется, остается тем же: сколько мячей будет в комнате ровно в полночь?

В этом случае на каждом этапе в комнату добавляют 10 мячей, а убирают только один, то есть в ней становится на девять мячей больше. Поскольку эта процедура повторяется бесконечное число раз, кажется совершенно ясным, что в полночь в комнате будет бесконечно много мячей (можно даже сказать, девять раз по бесконечно много!).

Можете ли вы сказать, какие именно мячи будут в комнате? То есть номер(а) мячей, которые останутся в комнате.

Перед огромной пустой комнатой по-прежнему выложен все тот же ряд теннисных мячей с номерами 1, 2, 3, 4… За полминуты до полуночи в комнату вносят мячи 1 и 2, причем мяч 2 сразу же из нее выкидывают. За четверть минуты до полуночи в комнату вносят мячи 3 и 4, причем мяч 4 сразу же из нее выкидывают. И так далее. Тот же вопрос: сколько мячей будет в комнате в полночь?

Внезапно все становится кристально ясно.

Поскольку мы выкидываем все мячи с четными номерами, в полночь в комнате будет бесконечно много мячей, и у всех у них будут нечетные номера. Так что мы знаем, какие именно мячи останутся в комнате в полночь: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15…

Разумеется, количество нечетных чисел бесконечно, и все они будут в комнате. Четные числа также образуют бесконечное множество, но они окажутся снаружи.

Можно ли сказать, что множества нечетных чисел и четных чисел меньше, чем множество всех натуральных (то есть целых положительных) чисел?

На первый взгляд можно решить, что это утверждение должно быть справедливым. Казалось бы, логично считать, что, например, множество четных чисел должно быть в два раза меньше множества всех натуральных чисел (в которое входят числа как четные, так и нечетные).

Однако посмотрим на этот вопрос вот с какой стороны: каждому натуральному числу можно сопоставить натуральное число.

Теперь мы начинаем осознавать эту умопомрачительную концепцию: хотя в множестве четных чисел пропущено каждое второе число (по сравнению с множеством всех натуральных чисел), количество элементов обоих множеств все равно одинаково. Говорят, что это множества одинаковой мощности. В этой книге мы еще поговорим о концепции мощности множества гораздо подробнее.