Хаим Шапира - Восемь этюдов о бесконечности. Математическое приключение

Как видно на рисунке, каждая костяшка домино может закрыть одну черную клетку и одну белую; поэтому 31 костяшка может закрыть в точности 31 белую клетку и 31 черную. Поскольку две клетки, удаленные с доски, одного и того же цвета – белые, – в обрезанной доске осталось 30 белых клеток и 32 черные. Много лет назад, когда я учился на математическом факультете в Тель-Авиве, я вел для «интересующейся наукой молодежи» курс под названием «Парадоксы, загадки и числа». Я давал эту задачу молодым слушателям своего курса. Каждый раз происходила одна любопытная вещь. Многие ученики решительно не соглашались с доказательством, которое показывает, что 31 костяшка домино не может покрыть доску с удаленными противоположными угловыми клетками. Интересно отметить, что в их число входили и ученики, казалось бы, вполне понимавшие объяснение этого доказательства; тем не менее они упорно раскладывали костяшки домино так и эдак, стараясь покрыть эту самую доску с обрезанными углами. Я даже не пытался убедить их в бессмысленности этого занятия – каждый должен учиться на собственных ошибках.

История учит нас, что люди и народы ведут себя мудро после того, как они исчерпают все остальные возможности.

Докажите, что, если из шахматной доски удалить любые две клетки разных цветов, все оставшиеся клетки всегда можно покрыть 31 костяшкой домино.

Когда я учился в начальной школе в Литве, в своем родном Вильнюсе, одним из самых значительных моих достижений было обретение виртуозного умения играть на уроках в стратегические игры с карандашом и бумагой и не попадаться учителям. Моей любимой игрой был бесконечный вариант крестиков-ноликов. Эта игра не раз спасала меня от скуки на занятиях, на которых меня заставляли сидеть.

Позвольте объяснить вам правила игры.

Вы, несомненно, знакомы с обычными крестиками-ноликами, в которые играют на поле размером 3 × 3 клетки. Эта игра подходит для детей лет до шести. После этого возраста каждая партия должна неизменно заканчиваться вничью, если только один из игроков не заснет в процессе игры (что, бесспорно, возможно, учитывая, насколько эта игра скучна).

В бесконечном варианте играют на бесконечном поле, и каждый игрок стремится выстроить ряд из пяти крестиков или ноликов. Как и в исходном варианте, ряд может быть горизонтальным, вертикальным или диагональным. Игроки по очереди ставят на поле крестики и нолики, и первый, выстроивший ряд из пяти своих символов, считается победителем.

a)

б)

a) У ноликов нет хода, который позволил бы заблокировать две «открытые» тройки крестиков; нолики проигрывают

б) Пример еще одной партии, которую только что выиграли крестики

В начальной школе, когда я «открыл» эту игру, я думал, что сам ее и изобрел, но впоследствии узнал, что это не так: существует игра под названием «гомоку», очень похожая на бесконечные крестики-нолики. Она особенно популярна в Японии и Вьетнаме. Слово го означает по-японски «пять».

Вы наверняка слышали об игре го. Однако, хотя в гомоку часто играют на такой же доске, какую используют для этой прославленной великой игры, между ними нет никакой связи. Го – древняя китайская игра, которая даже упоминается в «Аналектах» [2] Китайское название – «Лунь юй», первая из четырех книг конфуцианского канона. В русских переводах называется также «Беседы и суждения». – Здесь и далее, если не указано иное, постраничные примеч. перев. Конфуция. Поскольку она попала на Запад через Японию, мы используем ее японское название, но, как я уже сказал, го – это не гомоку [3] Более того, даже кажущееся сходство названий этих игр случайно. Го моку означает по-японски «пять камней». Название же игры го происходит от слов и-го, японского перевода китайского названия вэй-ци , которое традиционно переводится на русский как «облавные шашки». {2} 2 Го – это абстрактная стратегическая настольная игра для двух игроков, задача которых – окружить большую территорию, чем противник. Эта игра требует стратегического и тактического мастерства и большой наблюдательности. Гомоку (которую называют также «гобан», или «пять в ряд») – тоже абстрактная стратегическая настольная игра, и в нее традиционно играют шашками («камнями») для го на доске для го размером 15 × 15 или 19 × 19 клеток. Однако задача участника этой игры – первым выстроить ряд из пяти шашек. В эту игру также можно играть с карандашом и бумагой. .