Авинаш Диксит - Стратегические игры

Не всякая смешанная стратегия гарантирует более высокий результат, чем чистые стратегии. Например, если Эверт смешает стратегии ПЛ и ПД в соотношении 50 на 50, Навратилова сможет сократить ожидаемый выигрыш Эверт до 50, то есть в точности до уровня, обеспечиваемого чистой стратегией ПЛ. А комбинация, в которой стратегии ПЛ отведено менее 30 %, будет для Эверт хуже чистой стратегии ПЛ. Мы предлагаем вам проверить правильность этих утверждений как пример полезного упражнения по отработке навыков вычисления ожидаемых выигрышей и сравнения стратегий.

Если в той или иной численной задаче, которую вы пытаетесь решить, линии ожидаемых выигрышей в случае чистых стратегий не пересекаются, это говорит о том, что одна чистая стратегия является наилучшей для всех смешанных стратегий соперника, то есть она всегда будет наилучшим ответом.

Вероятность того, что каждый игрок выберет Starbucks в случае равновесия, равна 2/3. Вероятность того, что каждый из них выберет Local Latte, составляет 1/3. Вероятность того, что один игрок выберет Starbucks, тогда как другой — Local Latte, равна (2/3) × (1/3). Однако это может произойти двумя разными способами (один из них, когда Гарри выберет Starbucks, а Салли Local — Latte, а второй, когда оба игрока сделают противоположный выбор). Следовательно, общая вероятность того, что Гарри и Салли не встретятся, составляет 2 × (2/3) × (1/3). Более подробная информация об алгебре вероятностей представлена в приложении к данной главе.

В главе 12мы рассмотрим другой тип устойчивости, а именно эволюционную устойчивость. В эволюционном контексте вопрос состоит в том, может ли среди участников игры в труса сформироваться и сохраниться устойчивая совокупность игроков, выбирающих варианты «ехать прямо» и «свернуть».

Описание общей теории воздействия изменения выигрыша в определенной ячейке на равновесную комбинацию и ожидаемые выигрыши в равновесии можно найти здесь: Vincent Crawford and Dennis Smallwood, Comparative Statics of Mixed-Strategy Equilibria in Noncooperative Games, Theory and Decision, vol. 16 (May 1984), pp. 225–32.

Обратите внимание, что значение V — не обязательно денежная сумма; это может быть величина полезности с учетом нерасположенности к риску. Мы рассмотрим вопросы, связанные с риском, более подробно в главе 8, а об отношении к риску и ожидаемой полезности рассказывается в приложении к этой главе.

Этот результат получен с учетом того, что мы можем полностью исключить V из уравнения безразличия соперника, а значит, он не зависит от конкретных значений вероятности успеха, указанных на рис. 7.6. Следовательно, такой результат типичен для игр со смешанными стратегиями, в которых каждый выигрыш равен произведению вероятности успеха и значения выигрыша в случае успеха.

К числу немногочисленных научных работ, предлагающих альтернативные основы теории игр, можно отнести следующие: Vincent P. Crawford, Equilibrium Without Independence, Journal of Economic Theory, vol. 50, no. 1 (February 1990), pp. 127–54; and James Dow and Sergio Werlang, Nash Equilibrium Under Knightian Uncertainty, Journal of Economic Theory, vol. 64, no. 2 (December 1994), pp. 305–24. А наше описание данной проблемы в первом издании книги вдохновило некоторых ученых на написание статьи, посвященной новым методам ее решения: Simon Grant, Atsushi Kaji, and Ben Polak, Third Down and a Yard to Go: Recursive Expected Utility and the Dixit-Skeath Conundrum, Economic Letters, vol. 73, no. 3 (December 2001), pp. 275–86. К сожалению, в этой статье используются более сложные концепции, чем концепции начального уровня, которые рассматриваются в данной книге.

Даже если игрок располагает только двумя чистыми стратегиями, он может не применять одну из них в равновесии. В таком случае другой игрок обычно обнаруживает, что одна из его стратегий более эффективна в игре против той стратегии, которую первый игрок все же использует. Иными словами, такая равновесная «комбинация» стратегий сводится к частному случаю чистых стратегий. Однако если в распоряжении одного или обоих игроков есть три или более стратегии, мы можем получить настоящее равновесие в смешанных стратегиях, где некоторые из чистых стратегий остаются неиспользованными.

В общем случае, если у игрока N чистых стратегий, то его комбинация содержит ( N − 1) независимых переменных, или степеней свободы выбора.

Покер — это игра с неполной информацией, поскольку каждый игрок располагает только личной информацией о своих картах. Мы проанализируем такие игры более подробно в главе 8, а пока отметим, что они могут включать в себя равновесия в смешанных стратегиях (так называемые полуразделяющие равновесия), в которых случайные комбинации стратегий предназначены именно для того, чтобы помешать другому игроку раскрыть вашу личную информацию на основании ваших действий.