Чарльз Мостеллер - Пятьдесят занимательных вероятностных задач с решениями

Начнем с вычисления вероятности появления ровно одной шестерки при 6 бросаниях. Вероятность появления одной шестерки и пяти других очков в некотором определенном порядке равна . Искомая вероятность получается умножением этого количества на число возможных способов упорядочения одной шестерки и пяти других очков. В задаче 18 мы нашли, что это число равно . Таким образом, вероятность появления ровно одной шестерки равна

Аналогично, вероятность появления ровно x шестерок при бросании шести костей равна

x = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Вообще вероятность появления x шестерок при n бросаниях равна

x = 0, 1, 2, 3, ..., n .

Эта формула задает вероятности, отвечающие так называемому биномиальному закону.

Вероятность появления хотя бы одной шестерки при шести бросаниях равна

При бросании 6 n костей вероятность появления не менее n шестерок равняется

Ньютону пришлось самому вычислять эти вероятности. Мы же можем прибегнуть к помощи таблиц (см., например, Ф. Мостеллер, Р. Рурке, Дж. Томас, Вероятность, стр. 325 и 398). Наша табличка дает вероятности получения числа шестерок, не меньшего, чем математическое ожидание числа их появления, в 6 n бросаниях.

Итак, Пепайсу следовало предпочитать пари с шестью бросаниями пари с бо́льшим числом бросаний.

Биномиальное распределение рассматривается в уже цитированной книге «Вероятность», гл. VI.

У дуэлянта A мало оснований для оптимизма по поводу настоящей дуэли. Если он стреляет первым, то при попадании в C наверняка B попадет в него, поэтому A не должен стрелять в C . Если же A выстрелит в B и промахнется, то B , наверное, выведет из строя более опасного C первым и A сможет стрелять в B с вероятностью попадания 0.3. Если же A промахнется, то его песенка спета. С другой стороны, предположим, что A попадет в B . Тогда C и A будут перестреливаться до первого попадания. Шансы выигрыша A равны

(0.5)·(0.3) + (0.5)²·(0.7)·(0.3) + (0.5)³·(0.7)²·(0.3) + ...

Каждое слагаемое отвечает последовательности промахов C и A , заканчивающихся успехом A . Суммируя геометрический ряд, получаем

Таким образом, попасть в B и затем покончить с C — стратегия, дающая для A меньшую вероятность выигрыша, чем пропуск первого выстрела. Поэтому A должен стрелять в воздух, а затем стараться попасть в B .

Обсуждая эту задачу с Т. Лерером, я спросил его, благородно ли это решение с точки зрения кодекса о дуэлях. Лерер возразил, что подобный кодекс для дуэлей с тремя участниками не разработан, так что мы с полным основанием можем простить A преднамеренный промах.

Если первый вытянутый шар — красный, то неважно, из какой урны он вынут, так как теперь в этой урне будет поровну красных и черных шаров и второй шар не даст оснований для решения. Поэтому, если сначала вытянут красный шар, следует вернуть его в урну перед вторым извлечением. Если же вынут черный шар, то лучше не возвращать его в урну.

При такой стратегии вероятность правильного ответа равна:

Полная вероятность правильного решения приближенно равна (заменяя 100/201 на 1/2 и т. д.):