Чарльз Мостеллер - Пятьдесят занимательных вероятностных задач с решениями

(б). Заметим, что в турнире двух рыцарей близнецы заведомо встретятся. При 2² = 4 участниках вероятность такого поединка равна ½, для случая 2³ = 8 рыцарей, как уже было подсчитано, вероятность равна 1/4 = 1/2 n . Кажется естественным предположить, что в турнире 2 n рыцарей искомая вероятность равна 1/2 n − 1.

Докажем справедливость этого предположения с помощью метода математической индукции. Рассмотрим сначала случай, когда рыцари находятся в разных половинах турнирной лестницы. Как известно из задачи о теннисных турнирах, эта вероятность равна 2 n − 1/(2 n − 1). Если A и B находятся в разных половинах турнирной лестницы, то они могут встретиться лишь в финальном поединке. Вероятность выйти в финал для каждого рыцаря есть 1/2 n − 1, так как для осуществления этого события необходимо выиграть во всех предыдущих турах. Вероятность того, что A и B достигнут финала, равна (1/2 n − 1)² = 1/2 2 n − 2. Итак, вероятность встречи рыцарей из разных половин таблицы равна

[2 n − 1/(2 n − 1)]·(1/2 n − 2).

К этой вероятности следует прибавить вероятность поединка близнецов, которые оказались записанными в одну и ту же половину таблицы. Вероятность последнего события равна (2 n − 1− 1)/(2 n − 1), и, согласно индукционному предположению, вероятность схватки между близнецами в турнире из n − 1 тура равна 1/2 n − 2. Итак, вероятность встречи равна

что и доказывает наше утверждение.

Расположим 100 монет в ряд слева направо и будем бросать каждую. Вероятность какой-то заданной последовательности, составленной из 100 гербов и решек, равна (1/2) 100в силу независимости испытаний. Например, вероятность того, что вначале выпадет 50 гербов и затем 50 решек, равна (1/2) 100. Сколькими способами можно расположить 50 гербов и 50 решек в строку? В решении задачи 8 мы видели, что это число равно соответствующему биномиальному коэффициенту. Мы получаем

Следовательно, вероятность равного числа гербов и решек равна

Используя таблицы, получаем 0.07959 ≈ 0,08.

Для расчета больших значений факториалов часто пользуются формулой Стирлинга

где e — основание натуральных логарифмов. Относительная погрешность этой формулы приблизительно равна 100/(12 n ) %. Применим формулу Стирлинга к расчету вероятности равновесия

Так как 1/√2π ≈ 0.4, то наша приближенная формула дает 0.08, как и раньше. Более точное приближение с точностью до четвертого знака дает 0.0798 вместо 0.0796. Вывод формулы Стирлинга имеется в любом учебнике по дифференциальному и интегральному исчислению.

Когда-то Сэмуэль Пепайс послал Ньютону длинное и запутанное письмо по поводу новых игр с костями, которые он собирался опробовать. Для выяснения, какая из них выгоднее, Пепайсу нужен был ответ на сформулированный в условии задачи вопрос. Детали истории можно найти, например, в статье «Samuel Pepys, Isaac Newton and Probability», в журнале «American Statistician», Vol. 14, № 4, Oct., 1960. На эту тему есть и другая литература. Насколько я знаю, решение этой задачи — единственная работа Ньютона по теории вероятностей.

Так как при бросании 6 костей в среднем появляется одна шестерка, при бросании 12 костей это среднее равно двум и при бросании 18 костей — трем, то часто считают, что вероятности указанных событий равны. Иногда полагают, что эта вероятность равна 1/2. Здесь довольно ясно видна разница между математическими ожиданиями и вероятностями. Если подбрасывается большое число костей, то вероятность того, что число шестерок не меньше среднего числа их появлений, действительно совсем немного превосходит 1/2. Таким образом, это эвристическое соображение оправдывается при большом числе подбрасываний, но при относительно малом их числе ситуация совсем другая. Для значительного числа костей распределение появления шестерок приближенно симметрично относительно среднего, и вероятность появления этого среднего мала. При небольшом же числе костей распределение асимметрично, и кроме того, вероятность появления числа шестерок, в точности равного его математическому ожиданию, достаточно велика.