Льюис Кэрролл - История с узелками

В учебниках физики говорится, что тело, полностью погруженное в жидкость, вытесняет столько жидкости, что ее объем равен объему самого тела. Справедливо ли это утверждение для маленького ведерка, плавающего в другом ведерке несколько больших размеров?

Говоря о теле, «вытесняющем жидкость», авторы учебников имеют в виду, что оно «занимает пространство, которое можно заполнить жидкостью, не вызывая каких-либо изменений в окружающей среде». Если уничтожить ту часть меньшего ведерка, которая выступает над поверхностью воды в большем ведерке, а вместо остальной части ведерка взять столько воды, сколько оно вмешает, то уровень воды в большом ведерке в полном соответствий с учебниками физики останется неизменным.

Из рассуждений, приводимых в трактате Бальбуса, следует, что при погружении тела в сосуд с водой уровень воды последовательно поднимается на 2 дюйма, 1 дюйм, 1/ 2дюйма и т. д. Бальбус считает ряд, образуемый приращениями уровня, бесконечным и заключает отсюда, что уровень воды должен неограниченно возрастать. Правильно ли такое заключение?

Нет, неправильно. Сумма всех приращений уровня никогда не достигнет 4 дюймов, ибо, сколько бы членов ряда мы не взяли, от отметки 4 дюйма нас будет отделять расстояние, равное последнему взятому члену ряда.

Сад имеет форму «вытянутого» прямоугольника, длина которого на 1/ 2ярда больше ширины. Дорожка шириной в 1 ярд и длиной в 3630 ярдов, усыпанная гравием и закрученная спиралью, заполняет сад. Найти длину и ширину сада.

Ширина сада 60 ярдов, длина — 60 1/ 2ярда.

Разделим дорожку на прямые участки и «повороты» — квадраты размером 1×1 ярд в «углах». Число полных ярдов и их долей, пройденных вдоль прямых участков дорожки, очевидно, равно площади прямых участков дорожки, измеряемой в квадратных ярдах. Расстояние, проходимое на каждом «повороте», равно 1 ярду, а площадь «уголка» также равна 1 ярду (но уже квадратному). Таким образом, площадь сада равна 3630 квадратным ярдам. Если x — ширина сада в ярдах, то x(x + 1/ 2) = 3630. Решая это квадратное уравнение, получаем x = 60. Следовательно, ширина сада равна 60 ярдам, а его длина — 60 1/ 2ярда.

70 процентов инвалидов потеряли глаз, 75 процентов — ухо, 80 процентов — руку и 85 процентов — ногу. Каков процент ветеранов, лишившихся одновременно глаза, уха, руки и ноги?

10 процентов.

Предположим, что инвалидов ровно 100 человек. Общее число всех увечий равно 70 + 75 + 80 + 85 = 310. Следовательно, на каждого инвалида приходится по 3 увечья, а десятерым особенно не повезло: они получили все 4 увечья. Таким образом, наименьшая доля инвалидов, лишившихся глаза, уха, руки и ноги, равна 10 процентам.

Решение географической задачи — о смене дат — я вынужден отложить на неопределенный срок отчасти потому, что не знаю, как ее решить [7].

Некогда сумма возрастов двух сыновей была равна возрасту третьего сына. Через несколько лет сумма возрастов стала равна удвоенному возрасту третьего сына. Когда число лет, прошедших с тех пор, когда сумма возрастов двух сыновей была равна возрасту третьего, составит 2/ 3от суммы возрастов всех трех сыновей, третьему сыну исполнится 21 год. Сколько лет будет двум другим сыновьям?

15 и 18 лет.

Обозначим возраст сыновей в момент первого знаменательного события x, y и (x + y). Заметим, что если a + b = 2c, то (a – n) + (b – n) — 2(c – n) при любых n. Следовательно, последнее соотношение, коль скоро оно выполняется хоть когда-нибудь , выполняется всегда , в частности в момент первого знаменательного события. Но по условию задачи сумма возрастов двух сыновей (x и y) в этот момент равна возрасту третьего и, следовательно, не может быть вдвое больше возраста третьего. Следовательно, условие должно выполняться для суммы возраста третьего сына (x + y) и возраста какого-нибудь из первых двух сыновей, то есть x или y (какого именно, безразлично). Предположим, например, что x + y + x = 2y, тогда y = 2x. Таким образом, в момент первого знаменательного события возрасты сыновей образуют арифметическую прогрессию x, 2x, 3x, а число лет, прошедших с тех пор, составляет 2/ 3от 6x, то есть равно 4x. Итак, в момент, когда отец произносил свою последнюю торжественную речь, его сыновьям исполнилось по 5x, 6x и 7x лет. Возраст любого из сыновей выражается целым числом. Об этом свидетельствует то место в речи отца, где говорится: «В этом году одному из моих сыновей исполняется…» Поэтому 7x = 21, x = 3, 5x = 15 и 6x = 18.