О. ОРЕ - Приглашение в теорию чисел

b = q 1 r + r 1,

где r 1меньше каждого из чисел b и r . В соответствии с правилом (4.3.3) мы получаем

d 0= D ( a, b ) = D ( b, r ) = D ( r, r 1).

Далее, таким же способом обращаемся с числами r и г 1и т. д. В результате получаем последовательность пар чисел, каждая из которых имеет один и тот же наибольший общий делитель:

d 0= D ( a, b ) = D ( b, r ) = D ( r, r 1) = D ( r 1, r 2) =… (4.3.4)

Так как остатки постоянно уменьшаются, то эта последовательность должна закончиться после получения остатка r k+1= 0. Это происходит при делении

r k-1= q k +1 r k + 0,

т. е. число r k делит число r k-1. Тогда

D ( r k -1, r k ) = r k ,

и из (4.3.4) видим, что

d 0= D ( а, b ) = r k .

Другими словами, число d 0равно первому из остатков, который делит предшествующий ему остаток.

Пример. Найдем наибольший общий делитель чисел 1970 и 1066. Когда мы разделим одно число на другое и продолжим этот процесс дальше, как было выше рассказано, то найдем

1970 = 1 • 1066 + 904,

1066 = 1 • 904 + 162,

904 = 5 • 162 + 94,

162 = 1 • 94 + 68,

94 = 1 • 68 + 26,

68 = 2 • 26 + 16,

26 = 1 • 16+ 10,

16 = 1 • 10 + 6,

10 = 1 • 6 + 4,

6 = 1 • 4 + 2,

4 = 2 • 2 + 0.

Следовательно, (1970, 1066) = 2.

Этот метод нахождения наибольшего общего делителя двух чисел называется алгоритмом Евклида , так как первое его описание содержится в «Началах» Евклида. Этот метод очень удобен для применения в вычислительных машинах.

Система задач 4.3.

1. Решите задачу 1 § 1 (с. 49), используя алгоритм Евклида.

2. Найдите наибольший общий делитель для каждой из пяти первых пар дружественных чисел. Сравните результаты с результатами, полученными с помощью разложения на простые множители.

3. Каким количеством нулей заканчивается число

n! = 1 • 2 • 3 •… • n ?

Сверьте свой результат с таблицей факториалов.

Вновь вернемся к дробям. Чтобы сложить (или вычесть) две дроби

c/a, d/b ,

мы приводим их к общему знаменателю, а затем складываем (или вычитаем) числители.

Пример.

2/15 + 5/9 = 6/45 + 25/45 = 31/45.

Вообще, чтобы получить сумму

c/a + d/b ,

мы должны найти общее кратное для чисел а и b , т. е. число m , на которое делятся как число а , так и b . Одно из таких чисел очевидно, а именно, их произведение m = ab ; в результате получаем в качестве суммы дробей

c/a + d/b = cb/ab + da/ab = ( cb + da ) /ab.

Но существует бесконечно много других общих кратных для чисел а и b . Предположим, что мы знаем разложение этих двух чисел на простые множители:

а = р 1 α 1• … • р r αr , b = р 1 β 1•… • р r β r . (4.4.1)

Число m , которое делится одновременно на числа а и b , должно делиться на каждый простой делитель p i чисел а и b и содержать его в степени μ i не меньшей, чем б ольшая из двух степеней α i и β i . Таким образом, среди общих кратных существует наименьшее

m 0 = р 1 μ 1• … • р r μr , (4.4.2)

в котором каждый показатель степени μ i равен б ольшему из чисел α i и β i . Очевидно, что число m 0является наименьшим общим кратным и любое другое общее кратное чисел а и b делится на m 0. Для наименьшего общего кратного существует специальное обозначение

m 0 = K (a, b). (4.4.3)

Пример. а = 140, b = 110. Разложение на простые множители этих чисел таково:

a = 2 2 5 1 • 7 1 • 11 0, b = 2 1 • 5 1 • 7 0 • 11 1,

следовательно,

К ( а, b ) = 2 25 1• 7 1• 11 1= 1540.

Существует следующее простое соотношение между наибольшим общим делителем и наименьшим общим кратным:

ab = D ( a, b ) K ( a,b ). (4.4.4)

Доказательство . Перемножив два числа из (4.4.1), получим

аb = p 1 α 1+β 1… • p r α r +β r . (4.4.5)

Как мы отмечали, степень числа р i в D ( a, b ) является меньшей из двух чисел α i и β i , а в числе К ( а, b ) она большая из них. Предположим, что α i ≤ β i . Тогда степень числа р i в числе D ( a, b ) равна α i , а в К ( а, b ) равна β i ; следовательно, в их произведении

D ( a, b ) К ( а, b )

она равна α i + β i , что в точности равняется степени в произведении (4.4.5). Это показывает справедливость соотношения (4.4.4).