Джон Дербишир - Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике.

Ларри (Louis Feinberg), Керли (Jerome Lester Horwitz), Moy (Harry Moses Horwitz) — американские комедийные актеры первой половины XX века, более всего известные благодаря многочисленным короткометражным фильмам-сценкам с их участием. (Примеч. перев.)

Как произносить фамилию Dirichlet — вопрос непростой. Поскольку он был немцем, произносить следовало бы как Дирихлет. Англоговорящие так никогда не делают. Они используют или французское произношение Диришле, или нечто среднее — Дирихле. (Это последнее — стандартное русское произношение. — Примеч. перев.)

Константин Каратеодори, хотя и грек по происхождению, родился, получил образование и умер в Германии. Кантор родился в России — у него была русская мать, — но переехал в Германию в возрасте 11 лет и прожил там практически всю свою жизнь. Миттаг-Лефлер был шведом. Согласно математическому фольклору, именно он виноват в отсутствии Нобелевской премии по математике. Рассказывают, что у него был роман с женой Нобеля, а Нобель об этом узнал. История неплохая; правда, Нобель не был женат.

Кузина Феликса — Оттилия — вышла замуж за великого немецкого математика Эдуарда Куммера. Их внук Рональд Персиваль Спрейг был соавтором «теории Спрейга-Гранди» в развитой в XX веке теории игр… Мне следует побороть искушение развивать эту тему дальше — это все равно что прослеживать генеалогические линии всяких немецких князей. Другая связь с Мендельсоном возникнет в главе 20.v.

Математика допускает бесконечные произведения точно так же, как она допускает бесконечные суммы. Как и бесконечные суммы, некоторые из бесконечных произведений сходятся к определенному значению, а некоторые расходятся к бесконечности. Данное произведение сходится, когда s больше 1. Например, при s = 3 оно равно

Сомножители становятся все ближе и ближе к 1, причем делают это очень быстро, так что каждое следующее умножение — это умножение на нечто, лишь на самую малую малость отличающееся от 1, что, конечно, меняет результат очень незначительно. Прибавим к чему-нибудь нуль: никакого эффекта. Умножим что-нибудь на единицу: никакого эффекта. В бесконечной сумме члены должны достаточно быстро приближаться к нулю, чтобы прибавление их сказывалось мало; в бесконечном произведении они должны достаточно быстро приближаться к 1, чтобы умножение них сказывалось мало.

Все-таки кроме s = 0. (Примеч. перев.)

Золотой Ключ — это исключительно моя номенклатура. «Эйлерова формула произведения» — стандартное название. Стандартные же названия для двух ее частей — «ряд Дирихле» для бесконечной суммы и «эйлерово произведение» для бесконечного произведения. Строго говоря, левая часть — это некоторый ряд Дирихле, а правая часть — некоторое эйлерово произведение. Но в узком контексте данной книги дополнительные уточнения не требуются.

Надо полагать, что автор сознательно (и, скорее всего, после некоторых размышлений) остановился перед формулировкой так называемого правила Лейбница для производной произведения. Последуем его примеру и не будем приводить это замечательное правило, обладающее глубоким математическим смыслом, выходящим за рамки собственно математического анализа. (Примеч. перев.)

Есть два способа определения Li (x) — к сожалению, оба достаточно распространенные. В данной книге я использую «американское» определение, которое приводят Абрамовиц и Стеган в своем классическом «Справочнике по специальным функциям», опубликованном в 1964 г. Национальным бюро стандартов. В этом определении интеграл берется от 0 до x ; в этом же смысле использовал Li( x ) и Риман. Но многие математики — среди них великий Ландау (см. главу 14.iv) — предпочитают «европейское» определение, в котором интеграл берется от 2 до x , чтобы избежать неприятностей при x = 1. Два приведенных определения различаются на 1,04516378011749278…. В компьютерной программе Mathematica реализовано американское определение.

Неплохое приближение к Li (N) можно получить, складывая 1/ln 2, 1/ln 3, 1/ln 4, …, 1/ln N. Если, например, взять такую сумму для N , равного миллиону, то результат будет равен 78 627,2697299…, тогда как значение интегрального логарифма есть 78 627,5491594…. Так что сумма дает приближение, которое недобирает лишь 0,0004 процента. Этот интеграл вполне оправдывает свое обозначение в виде вытянутой буквы S, указывающей на «сумму».