Альберт Рывкин - Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

Здесь есть возможность читать онлайн «Альберт Рывкин - Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы» — ознакомительный отрывок электронной книги совершенно бесплатно, а после прочтения отрывка купить полную версию. В некоторых случаях можно слушать аудио, скачать через торрент в формате fb2 и присутствует краткое содержание. Город: Москва, Год выпуска: 2003, ISBN: 2003, Издательство: «ОНИКС 21 век» «Мир и Образование», Жанр: Математика, на русском языке. Описание произведения, (предисловие) а так же отзывы посетителей доступны на портале библиотеки ЛибКат.

Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы: краткое содержание, описание и аннотация

Предлагаем к чтению аннотацию, описание, краткое содержание или предисловие (зависит от того, что написал сам автор книги «Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы»). Если вы не нашли необходимую информацию о книге — напишите в комментариях, мы постараемся отыскать её.

Основу задачника составили варианты письменных работ по математике, предлагавшихся на вступительных экзаменах в ряде ведущих вузов Москвы.
Сборник содержит около 500 типовых задач. K каждой задаче дается до трех указаний, помогающих найти правильный путь к решению, а затем приводится подробное решение.
Пособие может использоваться при самостоятельной подготовке к экзаменам в вуз, а также на подготовительных отделениях и курсах.

Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы — читать онлайн ознакомительный отрывок

Ниже представлен текст книги, разбитый по страницам. Система сохранения места последней прочитанной страницы, позволяет с удобством читать онлайн бесплатно книгу «Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы», без необходимости каждый раз заново искать на чём Вы остановились. Поставьте закладку, и сможете в любой момент перейти на страницу, на которой закончили чтение.

Тёмная тема
Сбросить

Интервал:

Закладка:

Сделать

AB = ВС = 2 R sin x = 2 R cos α/ 2.

Ответ.2 R cos α/ 2.

24 . 8 .Если катеты основания обозначить через а и b , то боковая поверхность призмы равна Нам известна площадь основания Поэтому аb 4 Преобразуем выражение для - фото 1828

Нам известна площадь основания. Поэтому аb = 4. Преобразуем выражение для боковой поверхности так, чтобы участвовали только аb и а + b : Мы получили монотонную функцию от а b Ее наименьшее значение достигается - фото 1829

Мы получили монотонную функцию от а + b . Ее наименьшее значение достигается одновременно с наименьшим значением а + b . Поскольку а + b ≥ 2√ ab = 4, то равенство достигается, если а = b = 2.

Ответ.2.

24.9.Так как правильный шестиугольник и квадрат — фигуры центрально−симметричные, то центр вписанного в шестиугольник квадрата должен совпадать с центром шестиугольника. Пусть K (рис. P.24.9) — одна из вершин квадрата, а M — центрально−симметричная ей точка многоугольника.

Обозначим через α угол AOK Тогда По теореме синусов Чтобы задача имела - фото 1830

Обозначим через α угол AOK . Тогда По теореме синусов Чтобы задача имела решение должно быть OQ OK т е sin - фото 1831 По теореме синусов

Чтобы задача имела решение должно быть OQ OK т е sin 30 α sin α - фото 1832

Чтобы задача имела решение, должно быть OQOK , т. е. sin (30° + α) ≤ sin α. Так как угол а больше угла BOA , то α ≥ 60°. Кроме того, можно считать, что α ≤ 90°, т. е. 60° ≤ α ≤ 90°. Чтобы для этих углов выполнялось условие

sin (30° + α) ≤ sin α,

необходимо и достаточно, чтобы 75° ≤ α ≤ 90°. Из формулы для KO видно, что с увеличением α диагональ квадрата уменьшается. Следовательно, α нужно выбрать минимальным из возможных, т. е. α = 75°. Тогда Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы - изображение 1833, а сторона квадрата равна KO √2.

Ответ. 2410Обозначим данную дробь через y Поскольку дискриминант квадратного - фото 1834

24.10.Обозначим данную дробь через y . Поскольку дискриминант квадратного трехчлена, стоящего в знаменателе, меньше нуля, уравнения

равносильны Чтобы x было действительным числом необходимо и достаточно - фото 1835

равносильны. Чтобы x было действительным числом, необходимо и достаточно выполнение условия (3 − 4 у )² − 4 у (6 у − 2) ≥ 0, т. е. 8 у ² + 16 у − 9 ≤ 0. Ему удовлетворяют значения y , для которых −1 − √34/ 4 ≤ y ≤ −1 + √34/ 4. Правый конец интервала и будет наибольшим значением дроби.

Ответ. √34/ 4− 1.

24.11.Пусть а , b , с — ребра параллелепипеда. Тогда ограничения, указанные в условии задачи, запишутся в виде системы трех соотношений:

аbс = 7,2, аb + ас + ≤ 12, а + b ≥ 5.

Преобразуем второе соотношение, приняв во внимание, что а + b ≥ 5:

аb + ас + = аb + с ( а + b) ≥ аb + 5 с ,

т. е. аb + 5 с ≤ 12. Перепишем теперь первое соотношение в виде аb · 5 с = 36. Чтобы решить систему неравенства и уравнения, отыщем точки пересечения прямой x + y = 12 с гиперболой xy = 36, где x = аb , y = 5 с . Решая эту систему, найдем единственную точку x = y = 6. Отсюда легко следует, что системе, записанной вначале, отвечают лишь числа с = 6/ 5, аb = 6. Подставив эти значения во второе соотношение, получим а + b ≤ 5. Поскольку одновременно а + b ≥ 5 (третье соотношение), то а + b = 5 наряду с условием аb = 6.

Ответ.2, 3, 6/ 5.

24.12.Преобразуем данную функцию следующим образом:

Второе слагаемое достигает своего наименьшего значения когда его знаменатель - фото 1836

Второе слагаемое достигает своего наименьшего значения, когда его знаменатель максимален. Поскольку

|sin (α + x ) sin (α − x )| = ½|cos 2 x − cos 2α|,

то наибольшее значение этого выражения достигается при cos 2x = −1, если cos 2α ≥ 0, 0 < α ≤ π/ 4, и при cos 2 x = 1, если cos 2α < 0, π/ 4< α < π/ 2.

В первом случае x = π(2 k + 1)/ 2, во втором x = π k . И в том и в другом случае первое слагаемое выражения (1) обращается в нуль. Следовательно, при 0 < α ≤ π/ 4наибольшее значение функции равно 2 tg² α, а при π/ 4< α < π/ 2равно 2 ctg² α.

Читать дальше
Тёмная тема
Сбросить

Интервал:

Закладка:

Сделать

Похожие книги на «Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы»

Представляем Вашему вниманию похожие книги на «Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы» списком для выбора. Мы отобрали схожую по названию и смыслу литературу в надежде предоставить читателям больше вариантов отыскать новые, интересные, ещё непрочитанные произведения.


Отзывы о книге «Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы»

Обсуждение, отзывы о книге «Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы» и просто собственные мнения читателей. Оставьте ваши комментарии, напишите, что Вы думаете о произведении, его смысле или главных героях. Укажите что конкретно понравилось, а что нет, и почему Вы так считаете.

x