Леонард Млодинов - (Не)совершенная случайность. Как случай управляет нашей жизнью

Чтобы воспользоваться ею, придется совершить два выбора. Во-первых, вы должны определить, какая погрешность является для вас приемлемой. Насколько должен быть близок к 60% ряд ваших испытаний? Вам нужно выбрать интервал, например, плюс или минус 1%, 2% или 0,00001%. Во-вторых, вы должны решить, какая неопределенность является для вас приемлемой. Вы не можете быть уверены на 100% в том, что испытание выдаст результаты, к которым вы стремитесь, но вы можете позаботиться о том, чтобы получать удовлетворительный результат в 99 случаях из 100 или 999 случаях из 1 тыс.

«Золотая теорема» сообщает о том, что всегда возможно вынуть достаточно голышей для того, чтобы быть почти уверенным в том, какой процент белых голышей из вынутых будет ближе всего к 60%, и это несмотря на то, насколько требовательны вы в своем определении этого «почти уверен» и «ближе всего». С помощью теоремы также выводится формула числа испытаний, которые «достаточны» в рамках приведенного выше определения.

Первая часть закона была достижением на понятийном уровне, именно она и осталась в современной версии теоремы. Что же до второй части — формулы Бернулли — то важно понять: хотя «золотая теорема» определяет число испытаний, достаточных для достижения уверенности и точности, она не говорит, что невозможно достичь этого при меньшем числе испытаний. Это не влияет на первую часть теоремы, для которой достаточно знать лишь то, что число определенных испытаний конечно. Однако Бернулли также намеревался использовать число, выведенное с помощью формулы, в практических целях. Возьмем числовой пример, который Бернулли придумал сам, хотя контекст я изменил. Предположим, 60% избирателей в Базеле поддерживают мэра. Скольких человек необходимо опросить, чтобы шансы обнаружить, что мэра поддерживают от 58% до 62%, равнялись 99,9%, то есть, чтобы получить результаты с точностью плюс-минус 2%? (Предположим, оставаясь в согласии с Бернулли, что опрошенные люди выбраны наугад, однако с заменой. Другими словами, возможно, что одного и того же человека вы опросите более одного раза.) Ответ — 25 550, во времена Бернулли почти все население Базеля. Тот факт, что число это невозможно, от Бернулли не ускользнул. Он также знал, что опытные игроки интуитивно угадывают свои шансы на удачу в новой игре, основываясь на выборке, гораздо меньшей, чем тысячи испытаний.

Одна из причин того, почему численная оценка Бернулли была так далека от оптимальной, заключается в следующем: его доказательство было основано на множественных аппроксимациях. Другой причиной было то, что в качестве стандарта достоверности он выбрал 99,9% — то есть, он предполагал, что получит неверный ответ (ответ, который отличается от верного более чем на 2%) менее чем в 1 случае из 1000. А это чересчур высокий стандарт. Бернулли назвал его моральной достоверностью, имея в виду степень достоверности, которой, по его мнению, должен обладать человек здравомыслящий, чтобы принять рациональное решение. В наше время мы отказались от понятия моральной достоверности в пользу того, о чем поговорим в последней главе — о статистической значимости — подразумевая, что ваш ответ будет неверным менее чем в 1 случае из 20. Возможно, это скорее к вопросу о том, насколько сильно поменялся мир с тех пор.

Пользуясь современными математическими методами, статистики продемонстрировали, что в опросе, подобном описанному мною, можно получить статистически значимые результаты с точностью плюс-минус 5%, опросив при этом всего 370 человек. Если же вы опрашиваете 1000, вы выходите на 90% шанс получить верный результат плюс-минус 2% (60% голосование за мэра Базеля). Однако, несмотря на некоторые свои недостатки, «золотая теорема» Бернулли явилась своеобразной точкой отсчета, потому что продемонстрировала, — по крайней мере, в принципе — что достаточно большая выборка почти наверняка отразит неявные настроения населения.

В реальном мире нам нечасто доводится наблюдать чьи-либо действия в количестве тысяч испытаний. Таким образом, если Бернулли требовался чрезмерно высокий стандарт достоверности, в реальных жизненных ситуациях мы часто совершаем ошибку прямо противоположную: предполагаем, что выборка или серия испытаний является репрезентативной, когда на самом деле она слишком малочисленна, чтобы быть надежной. Например, если во времена Бернулли вы опросили бы 5 жителей Базеля, подсчеты по примеру тех, о которых шла речь в главе 4, продемонстрировали бы: шансы того, что вы получите результат 60% (3 человека) поддержки мэра, равны всего 1 из 3.