Стивен Строгац - Удовольствие от Х.Увлекательная экскурсия в мир математики от одного из лучших преподавателей в мир

Так что давно пора поменять наш лозунг для интегралов «Хоть ломтиками, хоть кубиками» на «Пересчитайте заново. Есть метод получше».

Некоторые числа — такие знаменитости, что их эстрадные имена состоят всего лишь из одной буквы. Даже самые важные персоны, такие как Мадонна и Принц, не могут с ними сравниться. Самое знаменитое — число π, ранее известное как 3,14159…

Следом идет число i из алгебры — это мнимое число настолько радикально, что изменило само понятие числа. Кто там далее в «звездном» рейтинге?

Поприветствуйте e ! Прозванное так за свою роль в прорыве экспоненциального роста, число e теперь Зелиг [97] «Зелиг» — кинофильм режиссера Вуди Аллена (1983), действие которого происходит в Америке 1920–1930-х годов. В фильме рассказывается о необычном еврее по фамилии Зелиг, умеющем перевоплощаться в людей, с которыми он общается. Прим. перев. высшей математики. Оно всплывает везде, где можно и нельзя, выглядывает из углов сцены, дразня своим присутствием в нелепых местах. Например, наряду с глубоким математическим анализом, оно вызывает цепную реакцию и бум рождаемости населения; е есть что сказать о том, со сколькими партнерами вы должны иметь романтические отношения прежде, чем остепенитесь.

Но перед тем как перейти к этим вопросам, давайте точно определим, что означает число e [98] Все ипостаси числа e и экспоненциальной функции представлены в книге E. Maor, e: The Story of a Number (Princeton University Press, 1994). Читатели, которые знакомы с интегральным исчислением, насладятся статьей B. J. McCartin, e: The master of all, Mathematical Intelligencer, Vol. 28, № 2 (2006), pp. 10–21. PDF-версия доступна по адресу http://mathdl.maa.org/images/upload_library/22/Chauvenet/mccartin.pdf. . Его численное значение равно 2,71828 — но это не многое разъясняет. Я могу вам сказать, что e равно пределу суммы

по мере увеличения числа членов, участвующих в этой сумме. Но это тоже не особенно полезно. Давайте лучше посмотрим на е в действии.

Представьте себе, что у вас есть депозит в виде сберегательного счета в размере 1000 долларов в банке, который ежегодно выплачивает невероятно щедрую процентную ставку в 100 % годовых. Через год на вашем счете будет 2000 долларов, то есть начальный депозит в размере 1000 долларов плюс 100-процентная ставка по ним, равная еще 1000 долларам.

Прикидываясь дурачком, вы просите у банка еще более выгодные условия: предлагаете выплачивать вам проценты раз в полгода, то есть чтобы банк выплачивал только 50 % ставки в течение первых шести месяцев и 50 % ставки следующие шесть месяцев. Естественно, вы окажетесь в выигрыше, так как будете получать проценты на проценты. Но насколько?

Ответ на этот вопрос следующий: ваша первоначальная сумма в 1000 долларов возрастет на коэффициент 1,50 за первое полугодие и снова на коэффициент 1,50 во втором полугодии. А поскольку 1,50, умноженное на 1,50, равно 2,25, то через год на вашем счете будет 2250 долларов. Это значительно больше, чем 2000 долларов, которые вы можете получить на изначальных условиях.

А что произойдет, если вы еще надавите на банк и убедите его разбить год на более короткие периоды выплаты процентов: по дням, секундам или даже по наносекундам? В этом случае вы смогли бы сколотить небольшое состояние?

Допустим, год поделен на 100 равных периодов, после каждого из которых выплачивается 1 % ставки (при процентной ставке 100 % в год, поделенной на 100 частей). Тогда в конце года сумма в 1000 долларов увеличится на коэффициент 1,01, возведенный в 100-ю степень, что приблизительно равно 2,70481. Другими словами, вместо 2000 или 2250 долларов на вашем счете будет б о льшая сумма, но не превышающая 2704,81 доллара.

И наконец, если сложный процент начисляется бесконечно часто (это называется непрерывным начислением), то общая сумма на счете по истечении одного года будет еще больше, но не превысит 2718,28 доллара. Точный ответ: это произведение 1000 долларов на число е , где е определяется как предельное число

Это наиболее существенный вычислительный аргумент в пользу числа е . Как говорилось в предыдущих главах, где мы вычисляли площадь круга и размышляли о притяжении Земли к Солнцу, дифференциальное и интегральное исчисления, основанные на исчислении бесконечно малых, от других разделов математики отличаются тем, что стремятся обуздать ужасающую власть бесконечности. Имея дело с пределами производных или интегральных сумм, необходимо всегда очень осторожно подходить к бесконечности.