Стивен Строгац - Удовольствие от Х.Увлекательная экскурсия в мир математики от одного из лучших преподавателей в мир

Требуется очень богатое воображение, чтобы представить себе эту трехмерную фигуру. Поэтому нет ничего постыдного в том, чтобы признать свое поражение и отыскать другой способ ее визуализации. В настоящее время компьютерная графика [91] Интерактивная демонстрация бицилиндров и других задач интегрального счисления доступна онлайн на The Wolfram Demonstrations Project (http://demonstrations.wolfram.com/). Чтобы с ними поиграть, нужно загрузить бесплатный интерактивный Mathematica Player (http://www.wolfram.com/products/player/), который в дальнейшем позволит вам исследовать сотни других интерактивных примеров из всех разделов математики. Наглядную демонстрацию бицилиндра см. на The bicylinder demo по адресу http://demonstrations.wolfram.com/IntersectingCylinders/. Мамикон Мнацаканян на сайте Калифорнийского технологического института (Caltech) представил серию анимаций, иллюстрирующих Архимедов метод разбиения на кусочки и его мощь. Моя любимая страничка: http://www.its.caltech.edu/~mamikon/. На Sphere.html изображены красивые отношения между объемами сферы и двойного конуса и цилиндра, чьи высота и радиус совпадают с радиусом сферы. Это же более наглядно можно увидеть, виртуально сливая воду из цилиндра в две другие формы, см. http://www.its.caltech.edu/~mamikon/SphereWater.html. Такие же элегантные механические аргументы на службе у математики приведены в работе M. Levi, The Mathematical Mechanic (Princeton University Press, 2009). позволяет легко воспроизвести подобные фигуры [92] Обращаем ваше внимание на то, что на этом рисунке изображена только половина тела пересечения. Прим. ред. .

Примечательно, что фигура имеет квадратное поперечное сечение, несмотря на то что является пересечением круглых цилиндров.

Сделаем стопку из бесконечного множества тонюсеньких квадратов, которая сужается от большого квадрата в середине фигуры до все более маленьких квадратиков и превращается в точку вверху и внизу.

Изобразить фигуру — всего лишь первый шаг. Для определения ее объема надо вычислить объемы всех отдельных составляющих ее кусочков. Архимеду удалось это сделать только в силу своей поразительной изобретательности [93] Применение механического метода Архимеда к задаче нахождения объема бицилиндра см. T. L. Heath, ed., Proposition 15, The Method of Archimedes, Recently Discovered by Heiberg (Cosimo Classics, 2007), р. 48. На странице 13 этого же тома Архимед признается, что рассматривает свой механический метод как средство для поиска теорем, а не их доказательства: «Некоторые вещи сначала мне стали ясны благодаря механическому методу, хотя в дальнейшем они должны были бы быть представлены средствами геометрии, потому что их исследование механическим методом фактически было просто демонстрацией. Но, конечно, найти доказательство проще, заранее получив некоторые знания по этому вопросу, чем если их не иметь». Популярное изложение работы Архимеда см. R. Netz and W.Noel, The Archimedes Codex (Da Capo Press, 2009). . Он использовал механический метод, основанный на рычаге и центрах тяжести, по сути, взвешивая фигуру в своем сознании, уравновешивая ее другими, уже ему известными. Недостатком его подхода, помимо того что он требовал гениальных способностей, было то, что его можно было применить только к очень ограниченному числу фигур.

Концептуальные проблемы, подобные этой, ставили в тупик лучших математиков в течение следующих девятнадцати веков — до середины XVII столетия, когда Джеймс Грегори, Исаак Барроу, Исаак Ньютон и Готфрид Лейбниц обосновали то, что сейчас называется фундаментальной теоремой интегрального исчисления [94] Фундаментальная теорема интегрального исчисления — теорема Ньютона — Лейбница. Далее цитата из «Википедии»: «Теорема Ньютона — Лейбница утверждает, что дифференцирование и интегрирование являются взаимно обратными операциями. Точнее, это касается значения первообразных для определенных интегралов. Поскольку, как правило, легче вычислить первообразную, чем применять формулу определенного интеграла, теорема дает практический способ вычисления определенных интегралов. Она также может быть интерпретирована как точное утверждение о том, что дифференцирование является обратной операцией интегрирования. Теорема гласит: если функция f непрерывна на отрезке [ a, b ] и F есть функция, производная которой равна f на интервале ( a, b ), то: Кроме того, для любого x из интервала ( a, b ) . Она мощно сковала два типа изменений, которые изучаются в исчислениях: накапливаемые изменения, представленные интегралами, и локальные изменения, представленные производными (см. главу 17). Выявив эти связи, основная теорема значительно расширила вселенную интегралов и уменьшила утомительную работу по их вычислению. В настоящее время ее можно запрограммировать на компьютере. С ее помощью даже задача о пересечении двух цилиндров, которая относилась когда-то к уровню мирового класса, становится общедоступной.