Стивен Строгац - Удовольствие от Х.Увлекательная экскурсия в мир математики от одного из лучших преподавателей в мир

Понимание того, почему в этих случаях требуется интегральное исчисление, а не обычное суммирование, мы получили в начальной школе. Давайте рассмотрим, с какими трудностями мы столкнулись бы, если бы действительно пытались вычислить силу притяжения Земли к Солнцу. Первая трудность заключается в том, что ни Солнце, ни Земля не являются точками. Это гигантские шары, состоящие из колоссального числа атомов. Каждый атом Солнца — это нечто вроде гравитационного буксира для каждого атома Земли. Поскольку атомы крошечные, то их взаимное притяжение почти бесконечно мало, но их бесконечно много и в совокупности они могут составлять ощутимую силу. И надо каким-то образом просуммировать все их воздействия.

Но есть и вторая, более серьезная трудность: притяжение различных пар атомов различно. Для одних оно сильнее, чем для других. Почему? Потому что сила притяжения меняется в зависимости от расстояния: чем ближе объекты, тем сильнее они притягиваются. Атомы самых удаленных друг от друга частей Солнца и Земли испытывают наименьшее притяжение; атомы, находящиеся близко друг к другу, притягиваются сильнее, а те, которые между ними, испытывают среднее по силе притяжение. Интегральное исчисление позволяет просуммировать все эти изменяющиеся силы. Удивительно, но это можно осуществить по крайней мере в идеализированной модели, если считать Землю и Солнце твердыми шарами, состоящими из бесконечного числа точек непрерывной материи, причем каждая из этих точек оказывает бесконечно малое воздействие на другие. Как и во всех исчислениях, бесконечность и пределы, на помощь!

Исторически интеграл сначала появился в геометрии для нахождения площадей криволинейных фигур. Площадь круга можно представить как сумму множества тонких ломтиков пирога. В пределе имеем бесконечное множество кусочков, каждый из которых бесконечно тонкий. Эти кусочки затем можно ловко перестроить в прямоугольник, площадь которого нетрудно найти. Это типичный пример использования интеграла. Идея интегрирования заключается в том, чтобы взять что-то сложное, нарезать его на кусочки и перетасовать так, чтобы было легко складывать.

В трехмерном обобщении этого метода Архимед (а около 400 года до н. э. и Евдокс) рассчитывал объемы различных фигур путем их представления в виде стопки множества пластин или дисков, подобной порезанной на тонкие кусочки колбасе. Посчитав объемы различных ломтиков и гениально проинтегрировав их, Архимед и Евдокс получали полный объем исходной фигуры.

Сегодня будущим математикам и ученым по-прежнему даются в качестве упражнений классические геометрические задачи, требующие решения с помощью интегралов. Это одни из самых сложных в процессе обучения упражнений, и многие студенты ненавидят их. Но нет более верного способа отточить навыки работы с интегралами, которые понадобятся в любой области, где используются количественные вычисления, — от физики до финансирования.

Одна из таких мозгодробительных задач — вычисление объема твердого тела, которое является общей частью двух одинаковых цилиндров [90] В математической литературе два одинаковых круглых цилиндра, оси которых пересекаются под прямым углом, называются по-разному: тело Штейнмеца, или бицилиндр. Для подготовленного читателя см. http://mathworld.wolfram.com/SteinmetzSolid.html и http://en.wikipedia.org/wiki/Steinmetz_solid. На страничке «Википедии» тоже есть очень полезная компьютерная анимация, которая показывает, как из пересекающихся цилиндров появляется призрачное тело Штейнмеца. Его объем современными методами можно рассчитать прямолинейно, но не прозрачно. Архимед и Цзу Чунчжи знали более простое решение с использованием метода нарезки на кусочки и сравнения площадей квадрата и круга. Удивительно ясное изложение представлено в Martin Gardner’s column Mathematical games: Some puzzles based on checkerboards, Scientific American, Vol. 207 (November 1962), p. 164. Об Архимеде и Цу Чунчжи см. Archimedes, The Method, English translation by T. L. Heath (1912), reprinted by Dover (1953); и T. Kiang, An old Chinese way of finding the volume of a sphere, Mathematical Gazette, Vol. 56 (May 1972), pp. 88–91. Мортон Мур отмечает, что бицилиндр также нашел применение в архитектуре: «Римляне и норманны при возведении цилиндрических сводов зданий были знакомы с геометрией пересекающихся цилиндров, где при пересечении двух таких сводов формировался крестообразный свод». Об этом и применении бицилиндров в кристаллографии см. M. Moore, Symmetrical intersections of right circular cylinders, Mathematical Gazette, Vol. 58 (October 1974), pp. 181–185. , пересекающихся под прямым углом.