Карлос Мадрид - Мир математики. т.32. Бабочка и ураган. Теория хаоса и глобальное потепление

Удвоение периодов орбит, начиная с k— 2 и заканчивая этим значением, происходит так быстро, что в конечном итоге период удваивается бесконечное число раз. Так возникает хаос. По мере увеличения к возрастает и сложность логистической системы: из стационарной она становится периодической, затем — хаотической. Если мы представим точку или точки, к которым сходится орбита х— 0,8 в логистическом отображении для различных значений параметра k, получим диаграмму, представленную на следующей странице.

На этой диаграмме значения к откладываются по горизонтальной оси, значения, к которым стремится орбита х— 0,8, — по вертикальной. Если мы зафиксируем значение k, то вертикальный разрез будет изображением соответствующего аттрактора на интервале от 0 до 1. К примеру, при k— 3,0 вертикальная линия пересекает график всего в одной точке. Это означает, что точка имеет период, равный 1, и является фиксированной. Другой пример: при k— 3,2 вертикальная линия пересечет график в двух точках. Это означает, что орбита представляет собой 2-цикл. По мере движения по горизонтали от k— 2,4 до k— 4 ветви дерева Фейгенбаума будут раздваиваться вследствие удвоения периода. Когда мы преодолеем критическое значение 3,569945…, аттрактор, определяемый вертикальными линиями, превратится в беспорядочную полосу. Он будет представлять собой фрактал (Канторово множество). При значениях k, превышающих пороговое, будут наблюдаться отдельные островки периодичности. К примеру, при k— 3,82 на диаграмме наблюдается полоса: если мы проведем воображаемую вертикальную линию, она пересечет диаграмму всего в трех точках: вверху, в середине и внизу. Иными словами, орбита будет представлять собой 3-цикл. Как вы уже знаете, «период, равный трем, означает хаос», поэтому то хаотическое нагромождение точек, которое наблюдается на диаграмме для последующих значений параметра, не должно казаться таким уж удивительным.

Фейгенбаум вычислил отношения относительных расстояний между ветвлениями (иными словами, между размерами ветвей дерева) и заметил, что эти отношения в пределе стремились к 4,669201… вне зависимости от того, какое отображение рассматривалось — логистическое или любое другое.

Следовательно, найденная им постоянная была универсальной. Хотя Фейгенбаум обнаружил эту постоянную эвристическим методом, а не с помощью формального доказательства, его открытие считается гениальным.

Бифуркационная диаграмма, или диаграмма Фейгенбаума, для логистического отображения.

* * *

Кроме того, в 1988 году двое ученых из MIT, Джеральд Джей Сассман и Джек Уисдом, показали, что движение Плутона также является хаотическим. На самом деле траектория Плутона особенно интересна: его орбита пересекается с орбитой Нептуна, и, возможно, в не столь далеком будущем Нептун и Плутон столкнутся, и произойдет настоящая космическая катастрофа. С помощью суперкомпьютера Сассман и Уисдом рассчитали траекторию Плутона на ближайшие 845 млн лет и обнаружили, что в силу неопределенности исходных условий две изначально близкие траектории будут существенно различаться уже спустя всего 20 млн лет — совсем небольшой промежуток времени по сравнению с возрастом Солнечной системы, который составляет как минимум 4,5 млрд лет. К счастью, при движении нашей планеты хаос не столь заметен: неточности при определении положения Земли начинают наблюдаться только по прошествии 100 млн лет.

Гиперион— спутник Сатурна неправильной формы. Фотография сделана зондом Кассини-Гойгенс.

Есть и другие примеры, показывающие, как проявляется хаос в нашей Солнечной системе. Пояс астероидов между Марсом и Юпитером движется под действием силы притяжения Солнца, однако подвержен колебаниям, вызванным притяжением Юпитера. Таким образом, можно говорить о задаче трех тел (Солнце, Юпитер и пояс астероидов). Некоторые движения в этой системе будут равномерными, другие — хаотическими. Астероиды, движущиеся равномерно, остаются на своих орбитах, а те, что движутся по хаотическим траекториям, через некоторое время сходят с орбит и теряются в космосе. Следовательно, астероиды распределены неоднородно, между ними есть промежутки — щели Кирквуда, названные в честь американского астронома, который открыл их еще в 1860 году. Если при вращении вокруг Солнца астероид пересекает одну из этих зон, его период вращения входит в резонанс с периодом обращения Юпитера, и газовый гигант уводит астероид с орбиты. Если астероид, сойдя с орбиты, направится к Марсу или к Земле, то гармонии в Солнечной системе придет конец. Нечто похожее происходит с полосами между кольцами Сатурна: частицы, движущиеся в зоне резонанса, сходят с орбит, в результате чего образуются щели.