Petri Fermat - Observationes Domini Petri de Fermat

Но Виет не заметил, что вопрос так же хорошо решается, если в качестве площади вместо X 4— 1 взять 1 — X 4, так как тогда он немедленно приводится к тому, чтобы заданное число 5, б или любое другое, умноженное на квадрат, сделать квадратом после прибавления единицы, что всегда легко решить, поскольку единица является квадратом.

Мы решили эту и две последующие задачи особым методом, который позволяет, например, отыскать треугольник, площадь которого, увеличенная на 5, составляет квадрат; а именно такой треугольник в минимальных числах есть (9/3, 40/3, 41/3); площадь его 20 и при прибавлении 5 дает квадрат 25.

Но здесь не место для развития принципа и применения этого метода; для этого недостаточны размеры полей, так как нам надо много сказать по этому поводу.

Ad quæstionem VI Libri VI.

Invenire triangulum rectangulum ut numerus areæ, adsumens unum laterum circa rectum, faciat datum numerum.

Hæc propositio et sequentes aliter fieri possunt [45] fingatur triangulam in hac propositione abs dato numero et unitate et plana laterilus similia applicentur ad summam unitatis et numeri dati, orietur quæsitus triangulus.

Перевод:

Это предложение и следующие за ним могут быть решены иначе: в этом предложении образуем треугольник из заданного числа и единицы и разделим все стороны на сумму данного числа и единицы, получим искомый треугольник. [46]

Ad quæstionem VII Libri VI.

Invenire triangulum rectangulum, ut numerus areæ, multatus uno laterum circa rectum, faciat datum numerum.

Fingatur triangulum abs dato numero et unitate et plana lateribus similia applicentur ad differentiam dati numeri et unitatis [47], hæc quæstio [48]per viam quâ hujusmodi duplicatas æqualitates infinitis modis resolvimus infinitas recipit solutiones. Modum autem quo utimur tetigimus et explicavimus infra ad quæstionem 24. Imò et solutiones illæ infinitæ aptantur 4. Sequentibus quæstionibus [49], quod nec Diophantus nec Bachetus animadvertit. Cur autem neque Diophantus neque Bachetus sequenterm quæstionein addiderunt? Invenire triang.[ulum] rectang.[ulum] ut unum ex lateribus areâ multatum faciat datum numerum. Certè hanc videntur ignorasse quia non statim se prodit in resolutione duplicatæ æqualitatis. Verum ex nostrâ methodo facilè potest inveniri, similiter in sequentibus quæstionibus tertius hic casus suppleri potest [50].

Перевод:

Образуем треугольник из заданного числа и единицы и разделим стороны его на разность данного числа и единицы. Этот вопрос допускает бесконечно много решении, которые можно получить тем же методом, что и для двойных уравнений этого типа; мы коснемся этого метода и объясним его ниже в замечании к вопросу 24 [в нашем издании VI 22— И. Б. ].

Более того, четыре следующие задачи также имеют бесконечно много решений, чего не заметили ни Диофант, ни Баше. Но почему ни Диофант, ни Баше не прибавили следующего вопроса?

Найти прямоугольный треугольник такой, чтобы один из его катетов уменьшенный на площадь, составлял данше число.

Кажется, они не знали решения, так как оно не дается непосредственно двойным равенством; но его можно легко найти с помощью нашего метода.

Этот третий случай может быть добавлен к последующим вопросам.

Ad quæstiones VIII et IX Libri VI.

Addi potest ex nostra methodo sequens quæstio; Invenire triangoulum rectangoulum ut sumnma laterum multata areâ conficiat datum numerum.

Перевод:

Благодаря нашему методу можно прибавить следующую задачу:

Найти прямоугольный треугольник такой, чтобы сумма сторон при прямом угле, уменьшенная на площадь, составляла данное число.

Ad quætiones X et XI Libri VI.

Addi potest ex nostra methodo sequens quæstio; Invenire triangulum rectangulum ut summa hypotenusæ et alterius lateris circa rectum multata areâ faciat datum numerum imo et sequens addi potest Bacheti commentarijs [51]; Invenire triangulum [rectangulum] ut hypotenusa detractâ areâ faciat datum numerum.

Перевод:

Благодаря нашему методу можно добавить следующую задачу:

Найти прямоугольный треугольник такой, чтобы сумма гипотенузы и одной из сторон при прямом угле, уменьшенная на площадь, составляла данное число.

Можно также к комментарию Баше добавить следующую:

Найти прямоугольный треугольник такой, чтобы гипотенуза, уменьшенная на площадь, составляла данное число . [52]

Ad quæstionem XIII Libri VI.

Invenire triangulum rectangulum ut numerus aræa, adsumens alterutrum laterum circa rectum, faciat quadratum.

Unius tantum speciei triangula Diophantus exhibet propositum adimplentia, Sed ex nostrâ methodo suppetunt infinita diversæ speciei triangula quæ ex Diophantæo per ordinem derivantur.

Sit igitur inventum triangulum 3. 4. 5. cuius hæc est proprietas ut qui fit mutuo ductu laterum circa rectum adscito solido sub maiore laterum circa rectum intervallo eorumdem, et areâ contento faciat quadratum [53]. Ab eo deducendum aliud eiusdem proprietatis, sit maius ex lateribus circa rectum trianguli quætsiti 4. minus vero 3 + 1N. Rectangulum sub lateribus circa rectum adscito solido sub maiore laterum circa rectum intervallo eorundem et areâ contento, facit 36 — 12N. — 8Q. quae ideo debent æquari quadrato. Cum autem latera 4 et 3 + 1N. sint latera circa rectum trianguli rectanguli, debent etiam eorum quadrata iuncta æquari quadrato. Quadrata illa iuncta faciunt 25 + 6N + 1Q. quæ idcircò etiam æquanda quadrato. Et oritur duplicata æqualitas, nam 36 — 12. N — 8Q. et etiam 25 + 6N + 1Q. debent æquari quadrato. Eius æqualitatis duplicatae solutio est in promptu.