Petri Fermat - Observationes Domini Petri de Fermat

Благодаря этой задаче мы получаем решение вопроса, который без этого казался очень трудным:

Дано число, найти четыре числа, сумма любых двух из которых при прибавлении данного числа образует квадрат.

Пусть дано число 15; сначала найдем по методу этой задачи три числа, сумма любых двух из которых вместе с заданным числом образует квадрат. Пусть эти три квадрата будут 9, 1/100, 529/225.

Положим первое из искомых четырех чисел равным X 2— 15, второе 6 X + 9 (где 9 является одним из найденных квадратов, а 6 — коэффициент при X — удвоенная его сторона); по тем же соображениям третье положим X + 1/ 100и, наконец, четвертое 46/ 15 X + 529/ 225.

Благодаря этому три из условий удовлетворяются, так как если взять сумму первого числа и какого-нибудь из оставшихся и если прибавить 15, то будет квадрат.

Нужно еще, чтобы получились квадраты, если прибавить 15 либо к сумме второго и третьего, либо к сумме третьего и четвертого, либо к сумме второго и четвертого. Получится тройное равенство, решение которого очевидно, так как конструкцией, метод которой мы заимствуем из данпой задачи, можно в каждом из выражений, которые мы приравниваем квадратам, сделать свободный член квадратом. Смотри по этому поводу сказанное нами относительно задачи VI 24[в настоящем издании к VI 22— И. Б. ].

Ad quæstionem XXXI Libri V.

Dato numero tres adinvenire quadratos, quorum bini sumpti detracto dato numero faciant quadratum.

Quo artificio in superiore quæstione usi sumus ut quatuor numeros inveniremus quorŭ bini sumpti adscito dato numero conficerent quadratŭ, simili in hac quæstione uti possumus, ut inveniăntur quatuor numneri quorum bini sumpti detracto dato numero conficiant quadratum. Ponendus enim primus 1Q + numero dato. Secundus quadratus primus ex inventis in hac quæstione una cum duplo ab ipsius latere in N. et reliqua patent.

Перевод:

Способом, аналогичным примененному к предыдущему вопросу о нахождении четырех чисел, сумма любых двух из которых, увеличенная на данное число, образует квадрат, можно решить и этот вопрос о нахождении четырех чисел, сумма любых двух из которых, уменьшенная на данное число, образует квадрат.

А именно положим: первое число равным X 2+ данное число, второе число — сумме первого квадрата, найденного в этой задаче, и удвоенной его стороны, умноженной на X , и т. д. Остальное очевидно.

Ad quæstionem XXXII Libri V.

Invenire tres quadratos, ut compositus ex ipsorum quadratis faciat quadratum.

Cur autem non quærat duo quadratoquadratos quorum summa sit quadratus? Sanè hæc quæstio est impossibilis, ut nostra demonstrandi methodus potest haud dubie expedire.

Перевод:

Почему же он не ищет двух биквадратов, сумма которых была бы квадратом? Конечно, потому, что эта задача невозможна, как это с несомненностью показывает наш метод доказательства.

Ad commentarium in quæstionem III Libri VI.

QUÆSTIO DIOPHANTI. — Invenire triangulum rectangulum, ut areæ eius numerus, adsumens datum numerum, faciat quadratum. Esto datus 5.

BACHETUS… Quoniam vero hinc forte venit in mentem Francisco Viete [40]quæstionem applicari posse solis numeris qui e duobus quadratis componuntur, quia Diophantus in sua hypothesi sumpserat 5, e, duobus quadratis compositum; quamvis ex ipso ductu analyseos Diophanteæ satis constet ad quemlibet numerum extendi problema, ne quis tamen supersit dubitandi locus, placet id etiam experientia comprobare…

Error Vietæ indè haud dubiè oritur. Supposuit vir clarissimnus differentiam duorum quadratoquadratorum, ut 1qq. — 1. æquari areæ cui adijciendo quintuplum quadrati fiat quadratus, si 5. numerus datus dividatur in duos quadratos poterit inveniri quintuplum quadrati à quo demptâ unitate supersit quadratus.

Ponatur igitur latus quadrati quintuplicandi esse 1.N. + 1. aut alius quivis numerorum numerus + 1. quintuplum quadrati illius erit 5Q + 10.N. + 5 cui si adiicias aream 1QQ — 1 fiet 1QQ + 5Q + 10.N + 4. quæ summa debet æquari quadrato, hoc autem non est operosum. Cum numerus unitatum ex hypothesi adjectâ problemati, sit quadratus. Non vidit Vieta quæstionem perinde resolvi posse si loco 1QQ — 1 sumpsisset pro areâ 1 — 1QQ. eo enim deducenda statirn quæstio ut datus numerus 5 vel 6. vel alius quilibet in quadraturm ductus adjectâ unitate conficiat quadratum quod generaliter est facillimnum cum unitas sit quadratus.

Nos peculiari methodo [41]quæstionem hanc et duas proximas [42]resolvimus, cuius beneficio dum quærimus triangulum cuius area unâ cum 5 v . g. [verbi gratia] conficiat quadratum triangulum in minimis [43]exhibemus 9/ 3 40/ 3 41/ 3cuius area 20 addito 5 facit quadratum 25. sed de ratione et usu nostræ huius methodi non est huius loci plura addere, non sufficeret sanè marginis exiguitas, multa enim habemus huc referenda.

Перевод:

Ошибка Виета [44], без сомнения, имеет такое происхождение: знаменитый муж приравнял площадь к разности двух биквадратов X 4— 1, чтобы при прибавлении упятеренного квадрата получился квадрат.

Поскольку заданное число 5 является суммой двух квадратов, то можно найти упятеренный квадрат, который, уменьшенный на единицу, будет квадратом. Положим сторону квадрата, который нужно упятерить, равной X + 1, причем вместо +1 при X можно взять любое другое число. Упятеренный квадрат от этого будет

5 X 2+ 10 X + 5,

он после прибавления площади X 4— 1 даст

X 4+ 5 X 2+ 10 X + 4,

что должно равняться квадрату. Это сделать нетрудно, так как число единиц является квадратом вследствие предположения, присоединенного в качестве условия.