Petri Fermat - Observationes Domini Petri de Fermat

Перевод:

При рассмотрении вопроса 25 [у нас задача V 22— И. Б. ] Баше, как и в предыдущем случае, оставил в стороне метод Диофанта, который нужно еще выявить и объяснить. Нужно найти два прямоугольных треугольника таких, чтобы произведение катета и гипотенузы одного из них имело заданное отношение к произведению катета и гипотенузы другого.

Этот вопрос долго нас мучил, и тот, кто попробует его решить, сможет убедиться, что он действительно труден, по наконец был открыт метод общего его решения.

Пусть требуется найти два треугольника таких, что произведение катета и гипотенузы одного из них вдвое больше произведения гипотенузы и катета другого.

Пусть один из треугольников образован из чисел A и B , а другой — из чисел A и D . Для первого треугольника произведение катета на гипотенузу будет

2 BA 3+ 2 B 3 A ,

а для второго — произведение катета на гипотенузу будет

2 DA 3+ 2 D 3 A .

Требуется, чтобы 2 BA 3+ 2 B 3 A было вдвое больше произведения 2 DA 3+ 2 D 3 A ; следовательно,

BA 3+ B 3 A = 2 DA 3+ 2 D 3 A ;

деля все на A , получим

BA 2+ B 3= 2 DA 2+ 2 D 3,

или, переставляя члены,

2 D 3 — B 3= BA 2— 2 DA 2.

Это значит, если частное от деления 2 D 3 — B 3на B — 2 D будет квадратом, то задача будет иметь решение.

Значит, нужно найти два числа, B и D , удовлетворяющие условию, что удвоенный куб одного минус куб другого, разделенный или умноженный (что приводит к тому же) на удвоенное второе минус первое, будет квадратом.

Положим первое X + 1, второе же 1. Удвоенный куб первого минус куб второго даст 1 + 6 X + 6 X 2+ 2 X 3. Удвоенное же второе минус первое 1 — X .

Итак, произведение 1 — X на 1 + 6 X + 6 X 2+ 2 X 3должно дать квадрат. Но их произведение равно 1 + 5 X — 4 X 3— 2 X 4, которое можно приравнять квадрату на 1 + 5/ 2 X — 25/ 8 X 2. Остальное не составит труда.

Чтобы распространить этот метод на случай произвольного отношения, достаточно взять в качестве одного из искомых чисел X плюс избыток большого члена отношения над меньшим, а в качестве второго числа — сам этот избыток, что мы и сделали для отношения 2 к 1. Действительно, при этом свободный член в окончательном произведении будет квадратом, и уравнение будет решаться без труда. Этим способом придем к двум числам, которые мы обозначили B и D , а затем вернемся к первоначальному вопросу.

Просматривая еще раз то, что было написано по поводу задачи 25 Диофанта, я хотел было все стереть, так как на самом деле эта задача не сводится к вопросу, решение которого мы дали. Однако, если мы и ошиблись в сведении одного вопроса к другому, тем не менее этот последний был решен правильно; наш труд был скорее не потерян, а неудачно помещен, поэтому мы его оставляем таким, каким мы его написали на полях.

Сам же вопрос Диофанта мы подвергли новому исследованию, и, тщательно применив наш метод, получили наконец общее решение ; однако мы приведем только один пример, сами числа которого покажут, что они были найдены не случайно, но с помощью регулярного метода.

В предложении Диофанта ищутся два прямоугольных треугольника при условии, что произведение гипотенузы и катета одного имеет к произведению гипотенузы и катета другого отношение, как 5 к 11.

Вот два таких треугольника:

первый треугольник имеет

гипотенузу 48543669109,

основание 36083779309,

высоту 32472275580,

второй треугольник имеет

гипотенузу 42636752938,

основание 41990695480,

высоту 7394200038.

Ad quæstionem XXX Libri V.

Dato numero tres adinvenire quadratos quorum bini sumpti, adscitoque dato numero, faciant quadraturn.

Huius quæstionis beneficio, sequentis quæstionis solutioneml dabimus quæ alioquin difficillima sane videretur.

Dato numero, quatuor invenire numeros quorum bini sumpti adscitoque dalo numero faciant quadratum. Sit datus numerus 15 et primim per hanc quæstionem reperiantur tres quadrati quorum bini sumpti adscitoque dato numero faciant quadratum. Et sint illi tres quadrati [39]

25. 1/ 100 529/ 225.

Ponatur prinmus quatuor numerorum quaesitorum 1Q + 15.

Secundus 10N + 25. (quia 25 est unus ex quadratis, 10N autem est duplum lateris in N.)

Tertius eâdem ratione ponatur 1/ 5N + 1/ 100, quartus denique 46/ 15N + 529/ 225. Ita quippe institutis positionibus tribus propositi partibus satisfit, quilibet enim numerorum unâ cum primo adscito 15 facit quadratum. Superest ut secundus et tertius addito 15, item tertius et quartus addito 15, denique secundus et quartus, eodem addito 15 faciant quadratum et oritur triplicata æqualitas cuius solutio in promptu cum ex constructione cuius artificium ab hac quæstione desumpsimus in quolibet termino æquando reperiantur unitates tantum quadratæ et numeri. Recurrendum igitur ad ea quæ diximus ad quæstionem uigesimamquartam libri sexti.

Перевод: