Эрнст Нагель - Teopeма Гёделя

Но даже если бы на «счету» Гёделя не было ни одного из таких замечательных достижений, достаточно было бы одной его работы, чтобы имя ее автора составило целую эпоху в истории науки. Именно этой двадцатипятистраничной статье двадцатипятилетнего автора и посвящена книжка известного американского логика Э. Нагеля и опытного популяризатора науки Дж. Р. Ньюмена, переведенная на большинство европейских языков.

Среди довольно многочисленной к настоящему времени популярной литературы по математической логике книга Нагеля и Ньюмена выделяется своей «целенаправленностью». Не пытаясь дать общий очерк идей и методов математической логики, авторы строят изложение вокруг центральных, с их точки зрения, проблем этой науки — проблем непротиворечивости и полноты. Доказательство того факта, что для достаточно богатых математических теорий требования эти несовместимы, и есть то поразительное открытие Гёделя, которому посвящена книга. Не требуя от читателя по существу никаких предварительных познаний, авторы с успехом объясняют ему сущность одной из самых замечательных и глубоких теорем математики и логики.

Стремясь к популярности изложения, авторы допускают ряд неточностей технического характера. Немногочисленные их замечания философского характера также представляются несколько поверхностными. Необходимость восполнения таких дефектов наряду с требованием уложиться в жестко ограниченный объем заставила переводчика несколько сократить текст за счет некоторых длиннот, повторений и отступлений. Местами сокращения удалось добиться ценой некоторой перекомпоновки материала. Все эти отступления от оригинала специально нами не оговаривались. Опущены также предметный указатель и библиография: читатель может найти дополнительные ссылки по заинтересовавшим его вопросам по монографии С. К. Клини «Введение в метаматематику» (пер. с английского, М.: Изд-во иностр. лит., 1957; 2-е изд. М.: URSS, 2009).

Ю. А. Гастев

Из этого определения немедленно вытекает, что аксиомы также причисляются к теоремам (доказательство каждой такой теоремы состоит из единственной формулы — из нее самой). — Прим. перев.

Именно обозначает , но не является формулой (является именем формулы); S, не принадлежащая алфавиту описываемого исчисления, относится к его метаязыку. — Прим. перев.

В тех случаях, когда нечего опасаться недоразумений, часть скобок в записях формулы опускают.

В Principia была еще аксиома «( p ˅ ( q ˅ r )) ˅ ( q ˅ ( p ˅ r ))» выводимая, однако, как установил П. Бернайс (1926), из остальных четырех аксиом. — Прим. перев.

Начиная отсюда, мы будем, как обычно, опускать кавычки при записях формул, напечатанных в отдельную строку. Нам, ведь, нужны не сами по себе кавычки, а уверенность в том, что не возникнет недоразумений (ср. с названием книги Рассела и Уайтхеда, всюду в настоящей книжке выделяемым не кавычками, а курсивом ) . — Прим. перев.

«Переводы» эти, разумеется, к самому исчислению не относятся. — Прим. перев.

Причем сказанное верно безотносительно к тому, входит ли в формулы S 1и S 2хоть одна общая переменная. — Прим. перев.

Конечно, еще более простой пример — формула, состоящая из одной-единственной переменной p. — Прим. перев.

Такое расширение можно произвести, просто присоединив эти недоказуемые предложения к арифметике в качестве новых аксиом . Поскольку мы считаем их истинными, то отрицания их не должны и не могут быть доказуемы в арифметике; значит, такое расширение непротиворечивой системы не может сделать ее противоречивой. — Прим. перев.

Конечно, у авторов речь шла об английском, а у самого Ришара — о французском языке. — Прим. перев.

Пропуск между словами можно при этом считать особой «буквой» (например, последней в алфавите) или просто писать слова подряд, без пропусков. — Прим. перев.

Можно было бы сказать «перевода», «моделирования», «кодирования», «представления»; в переводе мы далее будем сознательно варьировать употребление этих терминов, чтобы подчеркнуть принципиальное родство понятий, выражаемых этими терминами, между собой и с используемым далее понятием «нумерации». — Прим. перев.