Эрнст Нагель - Teopeма Гёделя

Выводы, к которым пришел Гёдель, имеют ряд важных следствий, безусловно, не оцененных еще в достаточной мере. Выводы эти показывают прежде всего, что решение задачи отыскания для каждой дедуктивной системы (и в частности, для системы, в которой можно было бы выразить всю совокупность арифметических теорем) абсолютного доказательства непротиворечивости, удовлетворяющего предложенным Гильбертом «финитистским» критериям, если и не является логически невозможным (хотя бы в силу некоторой неопределенности самого понятия «финитности»), то во всяком случае в высшей степени маловероятно. Выводы эти показывают также, что имеется бесконечно много истинных арифметических предложений, которые нельзя формально вывести из произвольной данной системы аксиом посредством некоторого точного перечня правил вывода. Отсюда следует, что аксиоматический подход к арифметике натуральных чисел, кроме всего прочего, не в состоянии охватить всю область истинных арифметических суждений. Отсюда также вытекает, что то, что мы понимаем под процессом математического доказательства, не сводится к использованию аксиоматического метода. Формализованные аксиоматические процедуры доказательств основаны на некотором множестве выделенных и фиксированных с самого начала аксиом и правил вывода. Как видно уже из самих рас- суждений, использованных в гёделевских доказательствах, изобретательность математиков в деле отыскания новых правил доказательства не поддается никаким априорным ограничениям. Таким образом, совершенно безнадежно рассчитывать на то, что понятию убедительного математического доказательства можно придать раз навсегда четко очерченные логические формы. В связи со всем этим возникает целый ряд новых проблем, далеко еще не решенных и слишком трудных для подробного рассмотрения их здесь — независимо от того, можно ли рассчитывать на то, что понятия математической и логической истинности можно исчерпывающим образом определить или же (мнение, к которому стал склоняться сам Гёдель) такое определение находится в компетенции безоговорочного философского «реализма» платонистского толка.

Платонизм (реализм) — доктрина, согласно которой математика не творит и не придумывает рассматриваемые в ней «объекты», а открывает их, подобно тому как, например, Колумб открыл Америку. Таким образом, согласно этой точке зрения, объекты должны в некотором смысле «существовать» до их «открытия». Платонистская доктрина не предполагает, что объекты математического исследования находятся между собой в пространственно-временных отношениях. Обьекты эти суть отделенные от материальных оболочек вечные Формы, прототипы, населяющие особые абстрактные Сферы, доступные лишь Интеллекту. Согласно такой концепции треугольные или круглые формы физических предметов, данные нам в ощущениях, сами по себе вовсе не являются объектами математического исследования. Эти пространственные формы суть лишь несовершенные воплощения единого «совершенного» Треугольника или «совершенного» Круга, вечных, неизменных, лишь частично проявляющихся в облике материальных предметов и являющихся подлинными объектами рассмотрения математической мысли. Сам Гёдель обнаружил близость к такого рода воззрениям, заявляя, «что допущение… классов и общих понятий столь же законно, как и допущение физических тел… и имеются столь же высокие основания верить в их существование» (из работы Гёделя «Russell's, Mathematical Logic» в книге The Philosophy of Bertrand Russei. Evanston; Chicago, 1944. C. 137). (Данная здесь авторами характеристика «платонизма» довольно-таки поверхностна, а традииионная квалификаиия Гёделя как платониста далеко не бесспорна. Впрочем, тема эта далеко выходит за рамки настоящей книги. См., например: Френкель А., Бар - Хиллел И . Основания теории множеств / Пер. с англ. М.: Мир, 1966. Гл. X. § 8; 3-е изд. М.: URSS, 2010. Прим. перев. )

Заключения, к которым пришел Гёдель, порождают, естественно, и вопрос, можно ли построить вычислительную машину, сравнимую по своим «творческим» математическим возможностям с человеческим мозгом. Современные вычислительные машины обладают некоторым точно фиксированным запасом команд, которые умеют выполнять их элементы и блоки; команды соответствуют фиксированным правилам вывода некоторой формализованной аксиоматической процедуры. Таким образом, машина решает задачу, шаг за шагом выполняя одну из «встроенных» в нее заранее команд. Однако, как видно из гёделевской теоремы о неполноте, уже в элементарной арифметике натуральных чисел возникает бесчисленное множество проблем, выходящих за пределы возможностей любой конкретной аксиоматической системы, а значит, и недоступных для таких машин, сколь бы остроумными и сложными ни были их конструкции и с какой бы громадной скоростью ни проделывали они свои операции. Для каждой конкретной задачи в принципе можно построить машину, которой эта задача была бы под силу, но нельзя создать машину, пригодную для решения любой задачи. Правда, и возможности человеческого мозга могут оказаться ограниченными, так что и человек тогда сможет решить не любую задачу. Но даже если это так, структурные и функциональные возможности человеческого мозга пока еще намного больше по сравнению с возможностями самых изощренных из мыслимых пока машин, так что непосредственной опасности вытеснения людей роботами не видно [20] При всем правдоподобии последней фразы она никак не следует из предыдущего. Вообще, далеко не ясно, как распространенный тезис об ограниченности возможностей моделирования человеческого мышления можно согласовать с материалистической гипотезой о его природе. Ср., впрочем, заключительные два абзаца авторского текста. — Прим. перев. .