Эрнст Нагель - Teopeма Гёделя

Чтобы показать, что доказуемость ~ G влечет доказуемость G, требуется аналогичное, но несколько более громоздкое рассуждение, которое мы не будем пытаться здесь воспроизводить.

Как мы уже отмечали, если и некоторая формула, и ее отрицание выводимы из некоторой системы аксиом, то эта система противоречива (несовместна). Поэтому если аксиомы формализованной системы арифметики совместимы, то ни G , ни ее отрицание не могут быть доказуемыми. Иначе говоря, если наши аксиомы непротиворечивы, то G формально неразрешима в том точном смысле, что ни G, ни ~ G не выводимы из арифметических аксиом.

3. Важность предыдущего заключения не сразу бросается в глаза. Что особенного — можно было бы задать вопрос — в том, что некоторая формула, сформулированная на арифметическом языке, оказалась неразрешимой? Но приходится признать, что из этого результата действительно вытекают чрезвычайно важные выводы. Все дело в том, что, хотя формула G и является недоказуемой, можно, как выясняется, чисто метаматематическим рассуждением установить ее истинность . Иными словами, удается показать, что формула G выражает некоторое (довольно-таки громоздко выражаемое, но тем не менее вполне определенное) свойство, с необходимостью принадлежащее всем натуральным числам (аналогично, скажем, свойству, выражаемому гораздо более простой формулой «∀ x ~ ( x + 3 = 2)», интерпретируемой обычно как утверждение, что никакое натуральное число, сложенное с числом 3, не дает в сумме 2).

Приведем здесь рассуждение, устанавливающее истинность формулы G. Во-первых, в предположении непротиворечивости арифметики можно доказать, что метаматематическое утверждение

«формула „∀ x ~ Dem( x , sub( n , 13, n ))“ недоказуема»

истинно. Во-вторых, такое утверждение представляется (выражается) в арифметике той самой формулой, которая в нем упоминается. В-третьих, мы вспоминаем, что истинным метаматическим утверждениям при осуществляемом посредством гёделевской нумерации отображении их в арифметику соответствуют истинные же арифметические формулы. (Именно это обстоятельство обусловливает всю плодотворность такого отображения; ситуация здесь совершенно та же, что в аналитической геометрии, где координатное «кодирование» обеспечивает перевод истинных геометрических высказываний в истинные алгебраические высказывания.) Отсюда и вытекает, что формула G, соответствующая истинному метаматематическому высказыванию, сама должна быть истинной. Следует, однако, еще раз подчеркнуть, что истинность арифметического высказывания установлена нами отнюдь не формальным выводом выражающей его формулы из аксиом, а посредством некоторого метаматематического рассуждения.

4.Теперь нам придется напомнить читателю понятие «полноты», введенное нами в заключение раздела, посвященного исчислению высказываний. Мы назвали тогда систему аксиом полной, если любое истинное предложение, выражаемое на языке данной системы, можно из них вывести. В противном случае (т. е. если не каждое истинное предложение, выразимое в данной системе, выводится из ее аксиом) система аксиом «неполна». Но мы только что как раз и установили, что G есть истинная арифметическая формула, не выводимая из арифметических аксиом, иными словами, система аксиом арифметики неполна (разумеется, в предположении непротиворечивости этой системы аксиом), более того, формальная арифметика существенно неполна: даже если добавить к ней формулу G в качестве новой аксиомы, расширенная система аксиом будет все равно недостаточна для формального вывода всех арифметических истин. Дело в том, что по отношению к пополненной таким образом системе аксиом мы можем провести в точности то же рассуждение, что и раньше, и та же конструкция даст нам новый пример предложения, истинного в расширенной арифметической системе, но не выводимого из ее аксиом, и такое предложение будет снова выражаться неразрешимой арифметической формулой. И этот поистине удивительный вывод остается в силе независимо от того, сколько раз мы ни производили бы такое расширение системы. Таким образом, мы вынуждены признать некоторую принципиальную ограниченность возможностей аксиоматического метода. Вопреки, казалось бы, самым естественным ожиданиям, запас арифметических истин оказывается столь обширным, что ни из никакой точно зафиксированной системы аксиом не удается их все формально вывести.