Рауль Ибаньес - Мир математики - т.6 Четвертое измерение. Является ли наш мир тенью другой Вселенной?

Рейтинг любой страницы является суммой рейтингов всех страниц, которые ссылаются на нее, с весовым коэффициентом, зависящим от общего числа ссылок на каждой.

Нечасто математические проблемы представляют общий интерес. Однако вопросы четвертого измерения после двух геометрических революций XIX в. глубоко проникли в общество. Они заинтересовали ученых и философов, теологов и медиумов, писателей и художников, музыкантов и поэтов — общественность в целом.

Примерно в 300 г. до н. э. Евклид Александрийский опубликовал свою главную работу «Начала», в которой собрал все геометрические, арифметические и алгебраические сведения, известные в то время. Его труд начинался с изложения элементарных понятий и упорядочения имеющихся знаний; затем Евклид использовал дедуктивный метод и систему доказательств, в которой, среди прочего, важную роль играли более неформальные подходы, такие как интуиция, аналогии и симметрия.

Наряду с Библией «Начала» являются одной из наиболее влиятельных книг всех времен. Они неоднократно копировались, переводились на многие языки, а после изобретения книгопечатания постоянно переиздавались. На протяжении более двух тысячелетий этот труд использовался в качестве учебника и был стандартом математического мышления.

Одним из важнейших достижений Евклида был выбор группы основных постулатов, из которых с помощью аксиом и дедуктивного метода могут быть выведены все другие теоремы. Таким образом, для геометрии на плоскости сначала давались некоторые интуитивно понятные определения: точка, прямая линия, угол и так далее. Затем формулировались аксиомы — очевидные истины, не требующие доказательства. Например, «равные одному и тому же равны и между собой» или «целое больше части». И, наконец, пять постулатов Евклида, которые лежат в основе его геометрии, хотя он их не доказывает:

1. От всякой точки до всякой точки можно провести прямую.

2. Ограниченную прямую можно непрерывно продолжать по прямой.

3. Из всякого центра всяким раствором может быть описан круг.

4. Все прямые углы равны между собой.

5. Если прямая, пересекающая две прямые, образует внутренние односторонние углы, меньшие двух прямых, то, продолженные неограниченно, эти две прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых.

Пятый постулат в современных терминах формулируется следующим образом: «Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, не пересекающую данную». Очевидно, что эта аксиома не зависит от предыдущих.

К тому же ее формулировка длиннее и содержит в себе условие. Многие математики думали, что пятый постулат можно вывести из предыдущих аксиом, и попытались доказать это. Некоторые из них до конца жизни были уверены, что им удалось сделать это, а другие сомневались даже в том, что его можно считать постулатом.

* * *

ЕВКЛИД АЛЕКСАНДРИЙСКИЙ

Удивительно, как мало нам известно о жизни автора «Начал»». Его называют Евклид Александрийский, потому что он заведовал музеем в Александрии. Это учреждение наряду с великолепной библиотекой являлось хранилищем всех знаний того времени.

Евклид был скромен и доброжелателен, хотя часто саркастичен. «Нет царского пути к геометрии»», — так ответил он Птолемею, правителю города, когда тот спросил его, есть ли более короткий путь изучения геометрии, нежели «Начала»». А когда один ученик спросил, какова выгода от геометрии, Евклид приказал дать ему три монеты, «раз он хочет извлекать прибыль из учебы»». Считается, что Евклид также написал труды по широкому кругу других вопросов, таких как оптика, астрономия, геометрия, музыка и дидактика, хотя историки не уверены в том, один и тот же ли Евклид является автором всех этих текстов, приписываемых ему.

* * *

На протяжении более двух тысячелетий многие знаменитые математики бились над проблемой пятого постулата, называемой также задачей о параллелях.