Александр Соловьев - ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА БЕЗ ФОРМУЛ

Есть также ЛОГИЧЕСКАЯ ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ или " тогда и только тогда « (кстати, воспользовавшись»американским приемом", можно записать короче – " ттогда "). Результирующее сложное высказывание истинно, если одновременно истинны или ложны оба входящих в него высказывания.

Назовем еще одну операцию, ШТРИХ ШЕФФЕРА или логическое " и-не ". Результат этой операции равносилен последовательному применению операций кон'юнкции и отрицания. Соответственно, результирующее высказывание будет ложным, только если входящие в него высказывания одновременно истинны. Штрих Шеффера – это операция замечательная тем, что ее одной (необходимое количество раз примененной) достаточно, чтобы записать любое сложное высказывание.

При использовании логики для проектирования логических схем, например отдельных фрагментов процессора, первоначально эксплуатировали аналогию с релейными схемами. Операция диз'юнкции (" или ") соответствует параллельному подключению контактов реле, кон'юнкции (" и ") – последовательному. Операция отрицания (" не ") моделируется нормально замкнутым контактом реле. То есть контакт размыкается при срабатывании реле. Разумеется, все это реализовывалось в полупроводниковом «модульном» варианте. Тогда достаточно было выпустить, например, модули типа «и-не», чтобы на них реализовать любую схему. (А сам процессор был размером со шкаф, но не по вине логики).

В этой алгебре об'ектами служат высказывания, о которых мы уже поговорили. Операции над высказываниями также обсудили. Осталось поговорить об их свойствах или законах, чтобы определится наконец с алгеброй.

Если использовать только три первых логических операции: диз'юнкцию, кон'юнкцию и отрицание, то алгебра высказываний аналогична алгебре множеств. Аналог диз'юнкции – об'единение, кон'юнкции – пересечение, а отрицания – дополнение. Эти аналогии можно использовать для одного из возможных об'яснений смысла логических операций (это, так называемая, теоретико-множественная интерпретация – и она достаточно «естественна»). Но мы ограничимся формальным подходом. А в связи с этим напомним, что нами были названы еще импликация, эквивалентность и штрих Шеффера, аналогов которым в теории множеств мы не стали искать.

Однако эти операции можно выразить через первые три.

Импликацию можно представить иначе, если взять диз'юнкцию отрицания первого высказывания со вторым. То есть с точки зрения формальной логики равносильны высказывания:

" ЕСЛИ стоит хорошая погода, ТО мы купаемся" и

" НЕВЕРНО , что стоит хорошая погода, ИЛИ мы купаемся".

Единственный случай, когда оба сложных высказывания ложны, это когда первое высказывание истинно, а второе ложно, то есть когда погода стоит хорошая, а мы не купаемся.

Для эквивалентности замена более длинная, но, фактически, совпадающая с определением. Например, высказывание (пусть и несколько диковатое):

"Хорошая погода стоит ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА , КОГДА мы купаемся" эквивалентно высказыванию "Хорошая погода И мы купаемся ИЛИ НЕ хорошая погода И мы НЕ купаемся".

Кстати, эквивалентность можно было выразить и через кон'юнкцию двух импликаций:

" ЕСЛИ стоит хорошая погода, ТО мы купаемся И ЕСЛИ мы купаемся, ТО стоит хорошая погода".

Штрих Шеффера для этих же исходных высказываний мог бы выглядеть следующим образом:

" НЕ ВЕРНО , что стоит хорошая погода И мы купаемся" или (по так называемому закону Де Моргана) это равносильно высказыванию:

" НЕ хорошая погода ИЛИ мы НЕ купаемся".

В алгебре высказываний есть законы: коммутативный, ассоциативный и дистрибутивный, которые аналогичны законам для множеств.

Чтобы убить двух зайцев, для иллюстрации коммутативного закона воспользуемся примером из книги Клини «Математическая логика»: "Мэри вышла замуж И родила ребенка" равносильно с точки зрения логики тому что "Мэри родила ребенка И вышла замуж". Первый «заяц» связан c синтаксисом коммутативного закона – то есть можно переставлять местами высказывания, а второй «заяц» – с семантикой, при которой перестановка не соответствует общепринятой морали – для приличного общества существенно, какое событие стоит первым. (Это в очередной раз говорит о том, что математическая логика не учитывает [и не в состоянии это сделать!] многих нюансов, имеющих место в практике жизни).