Александр Соловьев - ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА БЕЗ ФОРМУЛ

Возьмем большой мешок камней и решим задачу поиска самого большого камня. Будем вынимать поочередно камни, сравнивая с самым большим на данный момент. Исчерпав мешок мы оставим в руках самый большой камень. Если число камней мы увеличим в 2 раза, то сложность решения задачи тоже увеличится (примерно) в два раза. Если возьмем мешок с "n" то и трудность решения будет пропорциональна "n". Говорят, что такую задачу можно решить за полиномиальное время. Если вы решаете задачу нахождения самого большого ребра в полном нагруженном графе, то это тоже задача полиномиальной сложности, исходя из формулы для полного графа, увеличивающая сложность с ростом числа вершин по закону роста числа ребер, пропорциональному «n квадрат».

Однако, есть задачки (для тех же графов), для которых не найдено простых (полиномиальных) решений. Вторым из классических примеров таких задач (первый оставим для финала) служит задача о коммивояжере: Каков минимальный цикл в нагруженном графе, что при обходе его в каждую вершину заходим однажды. Для этой задачи есть только «трудные решения», сложность которых растет по экспоненте (как число зернышек на шахматной доске).

Но проверить решение такой задачи можно за полиномиальное время. Вся сложность в том, чтобы знать «траекторию решения». А вот снять проблему выбора правильной траектории позволяет недетерминированная машина Тьюринга, которую можно представить как сколь угодно большое число (обычных детерминированных) машин, каждая из которых делает попытку добраться до решения задачи по одной из возможных траекторий. У кого из читателей фантазия при этом отказывает, могут просто представить себе бога (говорят – «оракула»), который подсказывает правильный путь, чтобы не гонять кучу машин неведомыми тропами. Конечный эффект тот же.

Таким образом, множество труднорешаемых задач ( NP задач) относится к задачам, решаемым недетерминированной машиной за полиномиальное время. А проблему сложности вычислений математики выразили в виде формулы, которую все-таки приведу из-за ее краткости и «нетрудности» печати:

P = NP?

Интересно, говорят этой формулой математики, совпадают ли множество задач, решаемых за полиномиальное время и множество NP задач? Может просто толку пока не хватает найти простые решения…

Как бы там ни было, а задачи, для которых простые (полиномиальные) решения пока не найдены, существуют. И чем дальше, тем больше математики упорствуют в этой (недоказанной) уверенности. Более того, они коллекционируют типовые труднорешаемые задачи, которых уже набралось не менее тысячи. Более того, утверждают, что одни труднорешаемые задачи сводятся к другим труднорешаемым задачам. Поэтому даже используется для таких задач термин " NP –полные" задачи. И делается радикальное заявление: если хоть для одной NP –полной задачи будет найдено простое (полиномиальное) решение, тогда простое решение будет найдено и для всех остальных NP –полных задач. Тогда будет доказано P=NP и проблема сложности вычислений в этом ее виде будет закрыта!

Самой первой NP –полной задачей стала задача нахождения клик графа, то есть полных подграфов данного графа с конкретным числом вершин…

Но в середине семидесятых годов были опубликованы так называемые " алгоритмы Магу ", которые исключили из числа переборных не только задачи типа «восьми ферзей» (прежде стандартный полигон для эвристических алгоритмов «искусственного интеллекта»), но там и клики графа также находятся с помощью несложных манипуляций на уровне алгебры высказываний (преобразования выражения к ДНФ ), что ни как не выше полиномиальной сложности.

Мало радости признаваться в собственной бестолковости и некомпетентности, но проблема трудно решаемых задач для меня существует в несколько извращенном виде.