Александр Соловьев - ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА БЕЗ ФОРМУЛ

МАКСИМАЛЬНЫМ (МИНИМАЛЬНЫМ) называется элемент ЧУМ , больше (меньше) которого в этом множестве нет элементов. На первый взгляд это определение повторяет предыдущее. Но максимальных элементов в ЧУМ может быть и несколько. Если рассматривать современный мир, упорядоченный по этажам власти, то все главы государств «максимальны», но каждый в своей стране, поскольку главнее его нет. Но каждый из них не главнее другого главы. Главы всей планеты не существует и даже Генсек ООН его не заменит. Если бы, следуя фантастическим романам, существовал глава Земли, то он был бы и максимальным и наибольшим элементом.

Если, далее, возьмем множество студентов потока и наведем в нем частичный порядок. Имеется в виду не «всеми доступными средствами», а лишь отношением «учится лучше (или одинаково)», считая, что ради такого дела можно для любых двух студентов решить, который лучше… Из этого множества выделим группу ух-005 и найдем студентов потока, которые учатся лучше всех студентов группы ух-005. То есть найдем на потоке студентов, «наибольших» для этой группы. Таких студентов может оказаться несколько, если только «наибольший» студент группы не является одновременно наибольшим элементом всего потока. Такое множество наибольших элементов называется множеством МАЖОРАНТ . Рассматривая наименьших студентов, получим множество МИНОРАНТ . А теперь в самом множестве мажорант (минорант) найдем наименьший (наибольший) элемент [это не опечатка!]. Для данного примера это будут лучший и худший студенты самой группы ух-005. Такие элементы называются соответственно СУПРЕМУМ и ИНФИМУМ . Или кратко, sup и inf .

Для множества чисел 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 с отношением делить, возьмем подмножество чисел 3, 6, 9. Для него множество мажорант будет 12, 36. Множество минорант – 3, 1. супремум – 12, инфимум – 3.

РЕШЕТКОЙ называется ЧУМ , в котором для любого непустого подмножества существуют супремум и инфимум.

Решетки, которые получаются как множества подмножеств данного конечного множества, с отношением включения, относятся к БУЛЕВЫМ РЕШЕТКАМ . Для тех, кто знают про булеву алгебру, добавим, что традиционная булева алгебра есть решетка из двух элементов: «истина», «ложь», с отношением порядка «более истинный».

Определить решетку можно и «алгебраически». Если для элементов множества с отношением частичного порядка (частично-упорядоченным множеством) выполняются законы коммутативный, ассоциативный, поглощения и идемпотентности, то такое частично-упорядоченное множество называется решеткой.

Если, кроме того, выполняется дистрибутивный закон – то решетка называется дистрибутивной.

Тут уж поверьте на слово – с помощью решеток решен ряд важных проблем. В том числе и теоретического программирования.

Обычно, настоящие математики не приспособлены к жизни. Посмотрите на них, если имеете возможность. Они где-то витают… Казалось бы, следует сделать исключение для логиков. Хотя бы потому, что поступки логиков должны быть наиболее логичны. Как бы не так! Все как раз наоборот! На самом-то деле логика строго оговаривает свои «правила игры» и действует пунктуально до беспощадности, граничащей с идиотизмом, в рамках этих правил. При этом их логика с «логикой жизни» имеет не больше общего, чем вы найдете общего в шахматной и Бородинской битвах… Но все-таки есть что-то похожее… Когда страсти с обеих противоборствующих сторон накаляются и дело доходит до рукопашной!…

Кстати, основной клоунский прием: с фанатичным исступлением совершать некие формально логичные, но с точки зрения жизненной реальности абсурдные до идиотизма, действия. Всем, прежде всего детям, очевиден полный идиотизм происходящего, но клоун продолжает поступать ЛОГИЧНО ! И ничто не в силах свернуть его с этого пути.

Вообще-то всяких разных логик много. Выражаясь более конкретно – бесконечно много. Поэтому будем говорить не о логике вообще, как это любят делать в некоторых учебниках для юристов, а о математической логике. Тем более, что логики у юристов часто даже меньше, чем у политиков… А от политики предпочтительно держаться подальше… Математическая логика понятие тоже достаточно неконкретное, из-за того, что математических логик также бесконечно много. Здесь будем обсуждать некоторые из них, отдавая больше дань традиции, чем здравому смыслу. Поскольку, весьма возможно, в этом и заключен здравый смысл… Логично?