Хавьер Фресан - Мир математики - m. 35 Пока алгебра не разлучит нас. Теория групп и ее применение.

а = 0 для клана А или В, а = 1 для клана С или D,

b = 0 для клана А или С, b = 1 для клана В или D,

с = 0 если номер группы равен 1, и с = 1, если номер группы равен 2.

К примеру, человек из группы А 1будет обозначаться тройкой (0, 0, 0), другой человек из группы В 2— тройкой (0, 1, 1). Верно и обратное: для любой тройки единиц и нулей, к примеру (1, 0, 0), соответствующий клан определяется единственным образом. Так как первое число тройки равно 1, ей соответствует клан С или D. Так как второе число тройки равно 0, ей соответствует клан А или С. Оба этих условия выполняются только в одном случае — если человек принадлежит к клану С. Так как последнее число в тройке равно 0, рассматриваемый человек — член группы С 1

78

ЛЕВИ-СТРОСС: Теперь следует обозначить разновидности браков.

ВЕЙЛЬ: Действительно. Мы обозначили каждый клан тройкой чисел (а, b, с).

Добавим к ней четвертую координату, чтобы уточнить формулу брака. Так, каждое правило M iбудет обозначаться четырьмя числами (a, f>, с, d), которые могут равняться 1 или 0. Первые три числа (а, b, с) указывают клан, к которому принадлежит мужчина, вступающий в брак, а четвертое число равно 0 или 1 в зависимости от того, по какой формуле заключается брак — (I) или (II). К примеру, в браке (1, 0, 0, 1) мужчина клана (1, 0, 0), то есть С 1вступает в брак по формуле (II). Следовательно, его женой будет женщина из клана D 2, то есть (1,1,1). Клан детей также определяется однозначно: в этом примере они будут принадлежать к клану В2, то есть (0, 1,1). Имеем:

Разновидности брака (1,0,0,1)

Клан отцов (1,0,0)

Клан матери (1,1,1)

Клан детей (0,1,1)

Основная причина, по которой мы выбрали эти обозначения из единиц и нулей, заключается в том, что теперь мы можем выразить отношения родства с помощью циклической группы ℤ/2. Чтобы обеспечить максимальную точность, все нули и единицы следовало бы записать в квадратных скобках, но не будем усложнять обозначения. Благодаря выбранной нотации предыдущий пример можно обобщить, применив две леммы, приведенные ниже.

Лемма 1. В браке разновидности (a, b, с, d) жена принадлежит к клану (а, b + 1, c + d)

В самом деле, мужчины, вступающие в брак по правилу (a,b, с, d), принадлежат к клану (a, b, с). Заметим, что вне зависимости от формулы брака представители кланов А и В всегда будут жениться между собой, равно как и представители кланов С и D.

Так как а = 0 для клана А или В, а = 1 для клана С или D, то первое число в обозначении женщины и мужчины будет одинаковым. Посмотрим, что произойдет со вторым числом. Для этого вновь отметим, что вне зависимости от формулы брака мужчины из кланов А и С будут жениться на женщинах из кланов В и D. Следовательно, если b = 0, то второе число в обозначении женщины будет равно 1.

79

Аналогично, мужчины из кланов В и D вступают в брак с женщинами из кланов А и С. Следовательно, если b = 1, то второе число в обозначении женщины будет равно 0. В обоих случаях b заменяется на b + 1, так как 0 + 1 = 1 и 1 + 1 = 0на ℤ/2.

Осталось посмотреть, как изменится третья координата, обозначающая подгруппу клана. Это единственное число, зависящее от формул (I) и (II). В первом случае, то есть при d = 0, все мужчины вступают в брак с женщинами из своей же подгруппы, следовательно, третье число не изменится. Тем не менее, согласно формуле (II), то есть при d = 1, подгруппы меняются, однако это равносильно сложению d с последней координатой. Лемма доказана! Путем аналогичных рассуждений можно определить клан детей в зависимости от клана матери. Докажем:

Лемма 2. Дети женщины клана (х, у, z) принадлежат клану (х + 1, у, х + z + 1).

Теперь, когда мы знаем, как клан женщины определяет разновидность ее брака и как разновидность брака передается от матери к детям, мы можем объединить эти результаты и описать зависимость клана потомков от разновидности брака родителей. Допустим, что дан брак (а, b, с, d). По первой лемме жена принадлежит к клану (а, b + 1, с + d).

Если теперь подставим во вторую лемму х = а, у = b + 1, z = c + d,

то получим, что дети будут принадлежать к клану (а + 1, b + 1, а + с + d + 1).

Имеем:

Лемма 3. Дети от брака разновидности (а, b, с, d) принадлежат к клану (а + 1, b + 1, а + с + d + 1).

ЛЕВИ-СТРОСС: Следовательно, для определения функций f и g нам не хватает одного — правила, описывающего, как выбор формулы (I) или (II) передается по наследству от родителей к детям. Результаты практических исследований показывают, что возможны четыре ситуации:

(1) Дети следуют той же формуле, что и родители.

(2) Дети следуют обратной формуле.

80

(3) Сыновья следуют той же формуле, дочери — обратной.