Хавьер Фресан - Мир математики - m. 35 Пока алгебра не разлучит нас. Теория групп и ее применение.

71

ВЕЙЛЬ: Наберитесь терпения! Я уже говорил, что в обществе, которое удовлетворяет двум нашим условиям, описание структуры родства сводится к описанию разновидностей брака M iи функций f и g. Введем третье условие, которое описывает запреты инцеста и, по всей видимости, выполняется в некоторых племенах, о которых вы писали в «Элементарных структурах родства»:

Условие 3: Допускается брак между любым мужчиной и дочерью брата его матери.

Это условие означает коммутативность композиции f и g. Следовательно, чтобы изучить все возможные модели обществ, которые удовлетворяют нашим трем условиям, нам нужно как-то классифицировать абелевы подгруппы симметрической группы, порожденные двумя элементами. Посмотрим, как выглядят эти подгруппы:

Обозначим через Н группу, порожденную f и g. Первый возможный случай таков: один из двух элементов можно получить, возведя другой в определенную степень. В этом случае включать такой элемент в число порождающих элементов группы Н не требуется: его можно получить из другого элемента. Таким образом, имеем подгруппу, порожденную единственным элементом, то есть циклическую группу.

Предположим, что это не так, то есть f и g не зависят друг от друга. По определению, элементами Н будут все возможные цепочки операций над f и g, к примеру:

f * g * g * f * g

Порядок следования элементов будет произвольным, но так как мы предположили, что композиция f и g коммутативна, мы можем воспользоваться свойством ассоциативности, применить равенство f*g = g*f и попарно объединить элементы так, что все f и все g будут расположены рядом. Пример:

f*g*g*f*g=f*g*(g*f)*g=f*g*(f*g)*g=f*(g*f)*g*g=f*(f*g)*g*g=f 2*g 3

Так как этот метод корректен для любого элемента H, мы доказали, что любой элемент Н можно записать в виде f n* g m, где n и m — неотрицательные целые натуральные числа (они могут равняться нулю). Как правило, из соображений удобства указывают, что и f n, и g m— нейтральные элементы. Таким образом, когда верхний индекс одного члена обнуляется, результат операции равен степени другого члена.

Вместо f n* g mмы могли бы записать (f n, g m), при этом в структуре Н не произошло бы каких-то существенных изменений. Эта операция очень похожа на произведение двух циклических групп, однако члены f n* g mмогут повторяться, даже если

72

порядок f и g будет больше, чем n и m соответственно. Чтобы показать, что Н — это произведение двух циклических групп [6] 1 Заинтересованный читатель найдет полное доказательство в приложении. Чтобы вы могли полностью понять доказательство, рекомендуем сначала прочесть первую часть следующей главы. , нужно выполнить еще несколько действий:

Предложение 1. Конечная абелева группа, порожденная двумя элементами, является либо циклической, либо прямым произведением двух циклических групп.

Это предложение — частный случай теоремы о структуре конечнопорожденных абелевых групп, по которой такие группы изоморфны прямому произведению

ℤ × ... × ℤ × ℤ/n 1× ... × ℤ/n k

где ℤ — группа целых чисел, a ℤ/n 1..., ℤ/n k— циклические группы. Число копий ℤ, приведенных в произведении, называется рангом группы и отлично от нуля тогда и только тогда, когда группа является бесконечной.

ЛЕВИ-СТРОСС: Теперь рассмотрим наш пример. В нотации, которую вы объяснили в прошлый раз, перестановки f и g записываются так:

Переставим их двумя возможными способами:

Как видите, их композиция коммутативна, следовательно, в нашей структуре с обобщенным обменом любой мужчина может жениться на дочери брата своей матери.

ВЕЙЛЬ: Так как подгруппа S4, порожденная f и g, является абелевой, она будет либо циклической, либо прямым произведением двух циклических групп. В этом случае расчет

73

показывает, что перестановка f определяется как сочетание g с самой собой (/ =

= g2). Следовательно, мы имеем дело с первой из возможных ситуаций. Быть может, так будет всегда? Вовсе нет: составим пример, в котором подгруппа, порожденная f и g, будет прямым произведением двух циклических групп. Предположим, что допустимы следующие разновидности брака:

(Mt) мужчина А и женщина D

(M 2) мужчина В и женщина С