Хавьер Фресан - Мир математики - m. 35 Пока алгебра не разлучит нас. Теория групп и ее применение.

О жизни математика Диофанта Александрийского достоверно практически ничего не известно. Мы точно знаем лишь возраст мудреца из эпиграммы-задачи, записанной на его надгробии и приведенной в Палатинской антологии:

Если мы обозначим через х число лет, прожитых Диофантом, то получим следующее уравнение первой степени:

х = x/6+ x/12+x/7+5+x/2+4.

87

Выполнив несколько элементарных преобразований, получим, что Диофант прожил 84 года. Это уравнение намного проще, чем те, что обеспечили александрийскому мудрецу место в истории математики. В «Арифметике» Диофант впервые рассмотрел целые корни полиномиальных уравнений, которые сегодня в его честь называются диофантовыми. К диофантовым относится, например, уравнение

х n+ у n= z n.

Если показатель степени равен 2, это уравнение имеет бесконечно много положительных решений, но если n больше либо равно 3, уравнение решений не имеет. Первым на это обратил внимание француз Пьер Ферма, когда изучал «Арифметику» Диофанта.

На страницах книги Ферма написал: «Я нашел этому поистине чудесное доказательство, но поля книги слишком узки для него». Первое доказательство этой теоремы, названной великой теоремой Ферма, было получено лишь три с половиной столетия спустя. В этом доказательстве использовались намного более сложные методы, чем те, что были известны французскому математику. Несмотря на кажущуюся простоту, диофантовы уравнения принадлежат к числу труднейших задач математики, поэтому мы рассмотрим лишь простейшие из них: линейные уравнения, уравнение Пелля — Ферма и уравнения эллиптических кривых.

Прежде чем приступить к изучению диофантовых уравнений, проясним некоторые понятия. Так как в моих заметках упоминаются различные классы чисел, скажем о них несколько слов. С одной стороны, существуют натуральные числа, которые используются при счете: 1, 2, 3... (к ним также иногда относят ноль). Для двух любых натуральных чисел определена операция сложения, однако она не может быть групповой: чтобы существовали обратные элементы, необходимо также рассмотреть отрицательные числа. Добавив отрицательные числа к натуральным, получим абелеву группу целых чисел: 0, 1,-1, 2,-2, 3,-3. В действительности на этой структуре определена не одна, а сразу две операции: мы можем не только складывать целые числа, но и перемножать их. Операция умножения ненулевых целых чисел также не является групповой. Так, чтобы, к примеру, элемент 2 имел обратный, необходимо рассмотреть число 1/2. Чтобы устранить этот недостаток, необходимо рассмотреть все дроби вида а/b (где а и b целые числа, b отлично от нуля), которые образуют множество рациональных чисел. Каждому из них мы можем поставить в соответствие периодическую десятичную дробь: к примеру, для 1/3 такой дробью будет 0,3333..., для 2/11 — 0,181818... Если мы будем рассматривать только периодические дроби, то такие простые уравнения, как х 2= 2, не будут иметь решения, поскольку десятичная запись квадратного корня из 2 — непериодическая дробь.

88

Такие числа называются иррациональными. Чтобы получить еще больше решений, мы можем рассмотреть все десятичные дроби, в записи которых отсутствуют какиелибо закономерности. Такие числа называются вещественными.

Но вернемся к натуральным числам, которые Кронекер называл божьим творением. Для двух натуральных чисел m и n, m называется делителем n, если результат деления n на m — натуральное число. К примеру, 2 — делитель 10, так как 10 при делении на 2 дает 5 — натуральное число; 2 не является делителем 15, так как 15 при делении на 2 дает 7,5 — «некруглое» число. Если n делится на m, то существует натуральное число k такое, что n будет произведением m и k: n = m · k. Обратите внимание, что делители числа всегда меньше либо равны ему, и любое число делится на единицу и само себя. В некоторых случаях число делится только на единицу и само себя — такие числа называются простыми. Так, 5 — простое число, так как ни 2, ни 3, ни 4 не являются его делителями, а 6 не является простым, так как делится на 2 и на 3. Первые простые числа — 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23... Можно доказать, что простых чисел бесконечно много.