Эрнест Лависс - Том 4. Время реакции и конситуционные монархии. 1815-1847. Часть вторая

Аналитическая геометрия: Плюкер, Гессе.Чтобы удержаться на высоте, достигнутой синтетической геометрией, необходимо было преобразовать, в свою очередь, и аналитическую геометрию. Наибольшее влияние в этом смысле оказал на последнюю Юлиус Плюкер (1801–1868), родившийся в Эль-берфельде. Состоя до 1846 года профессором физики в Бонне, он тем не менее занимался и чистой математикой. В 1828 и 1831 годах он издает свои два тома Аналитико-геометричесшх исследований (Analytisch-geometrische EntwiMungen), где впервые излагается система однородных координат (по существу тождественная с системой Мебиуса); в 1834 году Плюкер издает свою Систему аналитической геометрии, заключающую в себе полную классификацию кривых третьего порядка; в 1839 году — свою Теорию алгебраических кривых (Theorie der algebraischen Kurven), в которой перечисляются кривые четвертого порядка и даны аналитические соотношения, связывающие особые точки плоских кривых. «ЭтиуравненияПлю-кера, — говорит Кэйли, — бесспорно составляют важнейшее открытие во всей современной геометрии». Но если труды Плю-кера были оценены по достоинству в Англии и Франции, то этого нельзя сказать про Германию, где он не удостоился благосклонности берлинских ученых. Штейнер даже заявил, что перестанет сотрудничать в Журнале Крелле, если там будут продолжать печатать труды Плюкера. Вдобавок, как профессора физики, его упрекали в том, что он пренебрегает своей наукой. Копчилось тем, что Плюкер оставил свои занятия по аналитической геометрии и в течение 15 лет с лишним работал в области математической физики, которую сильно двинул вперед. Позже он с блестящим успехом продолжал свои любимые исследования.

Гессе, родившийся в Кенигсберге (1811–1874), профессорствовал там до 1855 года и там же издал свои оригинальные исследования, направленные главным образом на изучение кривых третьего порядка и применение детерминантов к исключению неизвестных. В частности, под именем Гессиан известен детерминант, позволивший ему при помощи линейных подстановок свести к четырем членам общую форму уравнения третьей степени. В это же время английская школа, насчитывавшая в своих рядах Салмона, Кэйли, Сильвестра, с блестящим успехом вступила на тот же путь. В следующем томе нам еще встретятся эти имена.

Наконец, отметим появившиеся в этот период два труда Гаусса — Общие исследования о кривых поверхностях (Disqui-sitiones generates circa superficies curvas, 1827) и Исследования no вопросам высшей геодезии (Untersuchungen uber Gegenstande der hoheren Geodasie, 1843 и 1846), сделавшиеся классическими источниками по вопросу о кривизне поверхностей.

Алгебра: Гамильтон, Грассман, Галуа.Одновременно с изменениями в области геометрии, не менее глубокие преобразования подготовляются и в алгебре; новые идеи, столь же парадоксальные с первого взгляда, как и неэвклидовы, не встречают, правда, вначале благосклонного приема, но в будущем торжество им обеспечено.

Отправной точкой здесь является наглядная трактовка концепции мнимых величин. Принятые еще при Декарте, но в качестве чистой алгебраической фикции, они не получили, подобно так называемым отрицательным величинам, непосредственного естественного истолкования, и потому считалось, что им ничто не соответствует в действительности. Замечательный Опыт (1806) женевца Аргана остался почти столь же незамеченным, как и попытки профессора Кюна из Данцига (1750–1751) и датского землемера Каспара Весселя (1799). На долю Гаусса выпало ввести символ х — f iy для обозначения «комплексного числа», с помощью которого условно можно представить, посредством комбинации двух координат, изменение положения точки на всем протяжении плоскости, тогда как «обыкновенное число» (вещественное число) может представить это изменение только на одной линии. Сколь бы искусственной ни казалась эта условность, она привела, благодаря приложению алгебры и геометрии, к поразительному расширению понятий об элементарных действиях. Возьмем, например, простейший случай: если мы начнем от какой-нибудь вершины в определенном направлении последовательно обходить все стороны какого-либо многоугольника, кроме одной, то эта последняя сторона, если мы пройдем ее от той же вершины, может в известном смысле рассматриваться как сумма всех остальных, если учитывать одновременно как длину, так и направление каждой из них. Таким образом, пришли к мысли, что элементарные действия способны получать гораздо более общие определения, и даже такие, в зависимости от которых могут видоизмениться правила алгебраического вычисления.