Тибо Дамур - Мир по Эйнштейну. От теории относительности до теории струн

На самом деле математический термин «тензор» (англ. tensor) изначально возник как физический объект, используемый для описания «напряжений» (англ. tensions) в сплошной среде.

Можно показать, что «тензор деформации» математически строится из различных пространственных производных «вектора» смещения желе. В свою очередь, вектор смещения представляет собой набор маленьких стрелок, соединяющих начальные невозмущенные положения материальных точек в желе с их конечными возмущенными положениями.

Оказывается, что для однородной и изотропной среды объект κ лишь немного сложнее, чем простой численный коэффициент пропорциональности. Он состоит из двух численных коэффициентов, называемых коэффициентами упругости Ламе.

Компоненты g µ νпринимают значение +1, когда индексы µ и ν равны друг другу и соответствуют квадрату разности пространственных координат, т. е. когда µ = ν = 1, или 2, или 3. Если использовать в качестве временной координаты x 0= ct , то компонента g 00, отвечающая квадрату временной разности, принимает значение −1 (если же в качестве временной координаты использовать непосредственно t , то g tt = − c ²). Наконец, остальные шесть компонент, отвечающие двойным произведениям, т. е. компоненты g µ ν, в которых µ отличен от ν, будут равны нулю.

Обычно этот тензор обозначается T µ ν, где индексы µ и ν соответствуют используемым координатам x µ с µ = 0, 1, 2, 3. Компонента, соответствующая «квадрату времени», т. е. T 00, измеряет плотность массы-энергии, в то время как чисто пространственные компоненты T ij с индексами i и j, принимающими значения 1, 2, 3, в точности соответствуют тензору напряжений упругой среды.

Однако еще до появления окончательной формулировки теории гравитации он, находясь в Праге, предсказал величину отклонения света, в два раза меньшую конечного результата. Иными словами, он получил 0,875 угловой секунды (значение, которое давала ньютоновская теория тяготения, если учесть, что свет состоит из корпускул) вместо 1,75 угловой секунды, которое будет определено в ноябре 1915 г.

Отметим, что Эйнштейн никогда не использовал выражение «закон упругости пространства-времени», введенное в этой книге. Тем не менее мы считаем, что использование этого образа не искажает, а скорее, проясняет центральную идею его теории.

Речь идет о «тензоре Риччи».

Ханнес Альфвен «Космология: Миф или Наука?» в сборнике «Эйнштейн, книга столетия» под ред. A. Френча (Hannes Alfven, Cosmology: Myth or Science? , dans Einstein, Le Livre du Centenaire (édité sous la direction de A. P. French, version française réalisée par G. Delacôte et J. Souchon-Royer), Paris, Hier et Demain (1979), p. 83). Цитируется Мишелем Бьезунским в книге «Эйнштейн в Париже» (Cité par Michel Biezunski, Einstein à Paris, op. cit. ).

Приливной тензор, называемый также градиентом силы тяжести, является математическим объектом, который определяется взятием двух последовательных пространственных производных ньютоновского гравитационного потенциала. Тензор Rявляется более сложным объектом, получаемым из g, вида R( g) = g − 1d d g+ g − 1g − 1d g d g, где gобозначает 10 компонент метрического тензора g µ ν, g −1= g µ ν, обратная матрица к g µ ν, и d – пространственно-временной градиент, т. е. частная производная по отношению к четырем пространственно-временным координатам x µ . Математический объект, используемый Эйнштейном и обозначаемый как D( g) в тексте, имеет точно такую же структуру, как и R( g), т. е. он содержит (линейно) вторые производные gи обладает квадратичной нелинейностью по первым производным g.

Для тех, кого не пугают явные уравнения, уточним, что тензор Римана имеет четыре независимых индекса, R= R α β μv , и что последовательным суммированием по определенным индексам из него получается тензор Риччи R µ ν= R α μ α v , а затем тензор Эйнштейна D µ ν= R µ ν− (1/2) R g µ ν, где R = g µ ν R µ ν. Таким образом, уравнения Эйнштейна имеют окончательный вид D µ ν= R µ ν− (1/2) Rg µ ν= κ T µ ν, где T µ ν – тензор энергии-импульса. Стандартного обозначения для тензора Эйнштейна (обозначаемого здесь как D µ ν) не существует. Наиболее часто используются обозначения G µ ν, S µ νили E µ ν.