Стивен Вайнберг - Объясняя мир. Истоки современной науки

Например, если L 2/ L 1= 1/2, то на каждое колебание первой струны придется два полных цикла второй. В этом случае говорят, что звуки, издаваемые первой и второй струнами, образуют интервал октаву. Все клавиши ноты до на клавиатуре фортепиано производят музыкальные звуки, каждый из которых отделен от соседнего интервалом в одну октаву. Если отношение L 2/ L 1= 2/3, то получающийся интервал называется квинтой. Например, это справедливо в случае, когда первая струна звучит на ноте до первой октавы с главной частотой 261,63 колебаний в секунду, а вторая струна, длина которой 2/3 от первой, звучит на ноте соль первой октавы с частотой 3/2 × 261,63 = 392,45 колебаний в секунду [29]. Если соотношение L 2/ L 1= 3/4, получившийся интервал называется терцией.

Другая причина того, что эти сочетания нот благозвучны, заключается в обертонах. Чтобы N 1-й обертон струны 1 имел ровно ту же частоту, что и N 2-й обертон струны 2, должно выполняться равенство vN 1/2 L 1= vN 2/2 L 2, и таким образом:

И вновь отношение длин двух струн выражается рациональным числом, хотя и по иной причине. Но если это отношение окажется равно какому-либо нерациональному числу, например, π или квадратному корню из 2, то обертоны двух струн никогда не совпадут точно, хотя частоты более высоких обертонов могут сходиться как угодно близко. Звук, который при этом получается, ужасен.

Так называемая теорема Пифагора – самая знаменитая во всей планиметрии. Хотя ее доказательство приписывают ученикам и последователям Пифагора, например, Архиту Тарентскому, в точности история ее создания неизвестна. Здесь я приведу простейшее доказательство, основанное на понятии пропорциональности, широко применявшемся древнегреческими математиками.

Рассмотрим треугольник с вершинами A, B и P , у которого угол при вершине P является прямым. Теорема утверждает, что площадь квадрата, сторона которого равна AB (гипотенуза треугольника), равняется сумме площадей квадратов, стороны которых равны двум другим сторонам того же треугольника, катетам AP и BP . Говоря языком современной алгебры, рассматривая AB, AP и BP как численные величины, равные длинам указанных сторон, должно быть справедливо равенство:

Чтобы доказать теорему, следует провести перпендикуляр к гипотенузе AB из вершины P . Обозначим точку его пересечения с гипотенузой C (см. рис. 2). Таким образом мы поделим исходный треугольник ABP на два меньших прямоугольных треугольника APC и BPC . Легко видеть, что оба меньших треугольника подобны исходному прямоугольному треугольнику, то есть все углы в них те же самые, что и в большом. Если мы обозначим углы при вершинах A и B α (альфа) и β (бета), то у треугольника ABP будут углы α, β и 90°, и значит, α + β + 90° = 180°. В треугольнике APC два угла равны α и 90°, значит, третий угол равняется β. Аналогично в треугольнике BPC два угла равны β и 90°, следовательно, третий угол равен α.

Так как все три треугольника взаимно подобны, их соответствующие стороны пропорциональны. Это означает, что длина катета AC относится к длине гипотенузы AP треугольника ACP так же, как длина катета AP к длине гипотенузы AB в исходном треугольнике ABP . Соответственно, BC относится к BP в той же пропорции, что и BP к AB . Мы можем выразить это в более привычной алгебраической форме, связав длины сторон пропорцией:

Отсюда очевидно следует, что AP ² = AC × AB , а BP ² = BC × AB . Складывая два этих уравнения вместе, получаем:

Но AC + BC = AB , что и требовалось доказать.

Рис. 2. Доказательство теоремы Пифагора.Согласно теореме, сумма площадей квадратов, стороны которых равны катетам AP и BP , равняется площади квадрата, стороной которого является гипотенуза AB . Для доказательства теоремы из точки P в точку C проводится перпендикуляр к гипотенузе AB .