Стивен Вайнберг - Объясняя мир. Истоки современной науки

Сохранившееся со времен античности свидетельство о самой ранней попытке доказать, что существует лишь пять правильных многогранников, имеется в финальной, кульминационной части «Начал» Евклида. В предложениях 13–17 книги XIII Евклид описывает геометрическое строение тетраэдра, октаэдра, куба, икосаэдра и додекаэдра. Затем он пишет: «Вот я утверждаю, что, кроме упомянутых пяти тел, нельзя построить другого тела, заключенного между равносторонними и равноугольными равными друг другу <���многоугольниками>» [27] . Н а самом деле после этого утверждения Евклид доказывает более узкую теорему о том, что в правильном многограннике существует только пять возможных комбинаций количества сторон n у каждой многоугольной грани и количества N смежных в каждой вершине многоугольников. Ниже приведено доказательство, аналогичное евклидову, но с использованием современной терминологии.

На первом шаге необходимо рассчитать внутренний угол θ (тета) каждой из n вершин n -стороннего правильного многоугольника. Проведем лучи из центра многоугольника к каждой из его вершин. В результате многоугольник окажется разделен на n треугольников. Поскольку сумма углов треугольника равна 180° и в каждом из этих треугольников есть по два угла, равных θ/2, то угол при третьей вершине, совпадающей с центром многоугольника, равняется 180° – θ. Так как n таких углов должны составлять полный угол 360°, то n (180° – θ) = 360°. Решая это уравнение, получаем:

К примеру, для равностороннего треугольника имеем: n = 3, поэтому θ = 180° – 120° = 60°, тогда как для квадрата n = 4, и θ = 180° – 90° = 90°.

На втором шаге представим себе, что мы отрезали от нашего многогранника все грани, ребра и вершины, кроме тех, которые примыкают к какой-то одной выбранной вершине. Теперь то, что получилось, мысленно поставим на плоскость и «раздавим», нажав на эту вершину. Теперь N многоугольников, которые смыкались (были смежными) в этой вершине, окажутся лежащими на плоскости, но между ними должно остаться пустое место – в противном случае, если бы они покрывали полный угол, N многоугольников формировали бы слитную плоскую фигуру. Поэтому очевидно, что справедливо неравенство: N θ < 360°. Подставив вместо θ приведенную выше формулу и поделив обе части неравенства на 360°, получаем:

или, что то же самое (если обе части разделить на N ):

Учтем, что должно выполняться условие n ≥ 3, поскольку это минимальное количество вершин для многоугольника, и также должно выполняться неравенство N ≥ 3, так как иначе в многограннике не оставалось бы места между смежными при вершине многоугольными гранями (например, для куба n = 4, потому что грани квадратные, а N = 3). Поэтому вышеприведенное неравенство не позволяет ни отношению 1/ n , ни отношению 1/ N быть слишком малым, например, 1/2 – 1/3 = 1/6. Соответственно, ни n , ни N не могут быть равными или больше 6. Зная это, легко проверить все возможные комбинации целых чисел в диапазонах 5 ≥ N ≥ 3 и 5 ≥ n ≥ 3 на соответствие неравенству и обнаружить, что есть только пять таких комбинаций:

(В случаях, когда n равняется 3, 4 и 5, мы имеем стороны правильного многогранника, которые являются равносторонними треугольниками, квадратами и пятиугольниками соответственно.) Именно эти значения N и n присутствуют в тетраэдре, октаэдре, икосаэдре, кубе и додекаэдре.

Вот и все, что доказал Евклид. Но он не доказал, что существует лишь по одному правильному многограннику для каждой возможной пары n и N . Теперь мы пойдем дальше Евклида и покажем, что для каждой пары значений n и N мы получим по единственной комбинации других свойств многогранника: F – количества граней, E – количества ребер, и V – количества вершин. Как мы видим, есть три неизвестные величины, и значит, чтобы их найти, нам потребуется три уравнения. Чтобы вывести первое, отметим, что общее количество сторон всех многоугольников, образующих поверхность многогранника, равняется nF , но при этом каждая из Е граней является общей границей двух соседних многоугольников, поэтому: