Стивен Вайнберг - Объясняя мир. Истоки современной науки

В конце отдела I Книги I содержится примечательное «Поучение», в котором Ньютон отмечает, что он больше не полагается на понятие бесконечно малых величин (исчезающих количеств). Он объясняет, что «флюксии», такие как скорости, не являются отношениями бесконечно малых величин, как он ранее описывал их, но вместо этого: «Предельные отношения исчезающих количеств не суть отношения пределов этих количеств, а суть те пределы, к которым при бесконечном убывании количеств приближаются отношения их и к которым эти отношения могут подойти ближе, чем на любую наперед заданную разность» {262}. Это, в сущности, современная идея предела, на которой сегодня основывается математический анализ. Единственное, что несовременно в «Математических началах», так это мысль Ньютона о том, что пределы должны изучаться методами геометрии.

Книга II представляет собой длинное описание движения тел в жидкости, главная цель которого – определение законов, управляющих силами сопротивления для таких тел {263}. В этой книге Ньютон развенчивает теорию вихрей Декарта. Затем он переходит к расчету скорости звуковых волн. Его результат в Предложении 49 (о том, что скорость является квадратным корнем из отношения давления и плотности) верен только по порядку величины, поскольку в то время никто не знал, как учитывать изменения температуры во время расширения и сжатия. Но вместе с расчетами скорости океанских волн это было вызывающим интерес достижением – впервые в истории кто-то воспользовался законами физики, чтобы обеспечить более или менее реалистичный расчет скорости волн какого-либо вида.

Наконец, Ньютон переходит к доказательствам из астрономии в Книге III, которая называется «Система мира». В то время, когда вышло первое издание «Математических начал», существовало всеобщее согласие по поводу правильности Первого закона Кеплера, то есть эллиптической формы орбит планет, но все еще оставались некоторые сомнения по поводу Второго и Третьего законов о том, что радиус-вектор от Солнца до планеты описывает равные площади за равные промежутки времени, и о том, что квадраты периодов обращения планет вокруг Солнца относятся как кубы больших полуосей их орбит. Кажется, Ньютон зацепился за законы Кеплера не потому, что они были хорошо сформулированы, а потому что подходили к его собственной теории. В Книге III он отмечает, что спутники Юпитера и Сатурна ведут себя соответственно Второму и Третьему законам Кеплера, что наблюдаемые фазы пяти планет (кроме Земли) доказывают, что они обращаются вокруг Солнца, что все шесть планет подчиняются законам Кеплера и что Луна удовлетворяет Второму закону Кеплера {264}. Его собственные тщательные наблюдения кометы 1680 г. показывают, что она тоже движется по коническому сечению: по эллипсу или гиперболе, в любом случае – очень близко к параболе. Из всего этого (и своих более ранних сравнений центростремительного ускорения Луны и ускорения свободного падения тел около поверхности Земли) Ньютон заключил, что существует центральная сила, подчиняющаяся закону обратных квадратов, которая притягивает спутники Юпитера, Сатурна и Земли к планетам, а также все планеты и кометы – к Солнцу. Из того факта, что ускорение производится силой тяжести независимо от природы тела, которое ускоряется, будь это планета, спутник или яблоко, и зависит только от природы тела, производящего силу, и расстояния между ними, а также учитывая тот факт, что ускорение, производимое любой силой, обратно пропорционально массе тела, на которое оно воздействует, Ньютон пришел к выводу, что сила тяготения, действующая на любое тело, должна быть пропорциональна массе тела, что отменяет зависимость от массы тела при расчетах ускорения. Это создает четкое различие между силой тяготения и магнетизмом, который по-разному действует на тела с разным составом, даже когда они имеют одинаковую массу.

Далее в Предложении 7 Ньютон использовал свой Третий закон движения, чтобы определить, как сила притяжения зависит от природы тела, ее производящего. Рассматривая два тела, 1 и 2, с массами m 1 и m 2, Ньютон показал, что сила притяжения, оказывающая влияние со стороны тела 1 на тело 2, пропорциональна m 2, а сила, оказывающая влияние со стороны тела 2 на тело 1, пропорциональна m 1. Но в соответствии с Третьим законом эти силы равны по модулю, поэтому каждая из них должна быть пропорциональна m 1и m 2.. Ньютон мог проверить Третий закон в случаях столкновения тел, но не при гравитационных взаимодействиях. Как подчеркивал Джордж Смит, только много лет спустя стало возможно подтвердить пропорциональность силы притяжения инертной массе как притягивающего, так и притягиваемого тела. Тем не менее Ньютон пришел к заключению, что «тяготение существует во всех телах повсеместно, и оно пропорционально количеству материи в каждом из них». Именно поэтому произведения центростремительного ускорения различных планет на квадрат их расстояния до Солнца намного больше, чем произведение центростремительного ускорения Луны на квадрат ее расстояния до Земли: все дело в том, что Солнце, которое притягивает планеты, намного массивнее, чем Земля.