Ричард Фейнман - 8. Квантовая механика I

S |j>.

Или, если пользоваться формой (6.28), ему нужно вычислить матрицу

| S | j>,

называемую S-матрицей. Стало быть, если вы увидите физика-теоретика, который меряет шагами комнату и говорит: «Мне нужно только вычислить S -матрицу», — то вы теперь уже будете понимать, над чем он ломает голову.

Как анализировать S-матрицу, т. е. как указать законы для нее,— вопрос интересный. В релятивистской квантовой механике при высоких энергиях это делается одним способом, в нерелятивистской же квантовой механике — другим, более удобным. (Он годится и в релятивистском случае, но перестает быть таким удобным.) Состоит он в том, чтобы вывести U -мат­рицу для небольших интервалов времени, т. е. для близких t 2и t 1. Если мы сможем найти последовательность таких U для последовательных интервалов времени, то сможем проследить за тем, как все меняется в зависимости от времени. Сразу же ясно, что для теории относительности этот способ не очень хорош, потому что не так уж просто указать, как «одновремен­но» все всюду выглядит. Но не стоит нам думать об этом; нашей заботой будет только нерелятивистская механика.

Рассмотрим матрицу U для задержки от t 1до t 3 , где t 3больше t 2 . Иными словами, возьмем три последовательных момента: t 1меньше t 2, t 2меньше t 3 . Тогда мы утверждаем, что матрица, которая тянется от t 1до t 3 , получается перемноже­нием подряд всего того, что происходит при задержке от t 1до t 2 , и затем от t 2до t 3 . Это в точности то же самое, что было с двумя последовательными приборами В и А. Тогда, следуя обозначениям, принятым в гл. 3, § 6, мы можем написать

Иначе говоря, можно проанализировать любой интервал вре­мени, если мы умеем анализировать последовательность про­межуточных коротких интервалов. Мы просто перемножаем все куски; это и есть способ нерелятивистского анализа кван­товой механики.

Итак, задача состоит в том, чтобы узнать матрицу U ( t 2 , t 1) для бесконечно малого интервала времени — для t 2= t 1+D t . Спросим себя: если сейчас у нас есть состояние j, то как оно будет выглядеть через бесконечно малое время D t ? Посмотрим, как это можно расписать. Обозначим состояние в момент t через |y( t )> (мы указываем зависимость y от времени, чтобы было совершенно ясно, что речь идет об условиях в момент t). Теперь зададим вопрос: каково будет положение вещей через короткое время D t ? Ответ таков:

Здесь имеется в виду то же, что и в (6.25), а именно, что амплитуда обнаружить c в момент t+ D t есть

Поскольку мы еще не очень хорошо разбираемся в этих абстрактных вещах, то давайте спроецируем наши амплитуды в определенное представление. Умножая обе части (6.31) на < i |, получаем

Можно также разложить и |y(t)> на базисные состояния и написать

Понять это можно так. Если через C i (t)= < i| y|( t )> обозна­чить амплитуду пребывания в базисном состоянии i в момент t, то можно считать эту амплитуду (помните, это просто число !) меняющейся во времени. Каждое С i становится функцией времени t. Кроме того, у нас есть информация о том, как амп­литуды С i меняются во времени. Каждая амплитуда в момент (t+ D t) пропорциональна всем прочим амплитудам в момент t, умноженным на ряд коэффициентов. Обозначим U -матрицу через U ij , считая, что

U ij = > .

Тогда (6.34) можно записать так:

Вот как будет выглядеть динамика квантовой механики.