Ричард Фейнман - 8. Квантовая механика I

Для получения однозначных фаз мы просто умножаем каждый член в R на один и тот же фазовый множитель. В дальнейшем мы будем всегда предполагать, что наши матрицы были приве­дены к «стандартной форме»; тогда мы сможем пользоваться прямо формулой (4.11) без каких-либо добавочных фазовых множителей.

§ 3. Повороты вокруг оси z

Теперь мы уже подготовлены к тому, чтобы отыскать матри­цу преобразования R ji , связывающую два разных представления, Владея нашим правилом объединения поворотов и нашим предположением, что в пространстве нет предпочтительного направ­ления, мы владеем ключом для отыскания матрицы любого произвольного поворота. Решение здесь только одно. Начнем с преобразования, которое отвечает повороту вокруг оси z. Пусть имеются два прибора S и Т, поставленных друг за дру­гом вдоль одной прямой; оси их параллельны и смотрят из страницы на вас (фиг. 4.4, а).

Фиг. 4.4. Поворот на 90° вокруг оси z.

Это их направление мы примем за ось z. Ясно, что если пучок в приборе S идет вверх (к + z), то то же будет и в аппарате Т. Точно так же, если он в S идет вниз, то и в Т он направится вниз. Положим, однако, что прибор Т был повернут на какой-то угол, но его ось, как и прежде, параллельна оси прибора S, как на фиг. 4.4, б. Интуитивно хочется сказать, что пучок (+) в S будет по-прежнему пере­ходить в пучок (+) в Т, потому что и поля, и их градиенты характеризуются тем же физическим направлением. И это вполне правильно. Точно так же и пучок (-) в S будет перехо­дить в пучок (-) в Т. Тот же результат применим для любой ориентации Т в плоскости ху прибора S. Что же отсюда сле­дует для связи между С' + = <+T|y>, С' - =<- T |y> и С + =<+ S |y>, С - = <- S |y>? Можно подумать, что любой поворот вокруг оси z «системы отсчета» базисных со­стояний оставляет амплитуды С± пребывания «вверху» и «вни­зу» теми же, что и раньше, и написать С' + =С + и С' -= С - . Но это неверно. Все, что можно отсюда заключить,— это, что при таких поворотах вероятности оказаться в «верхнем» пучке при­боров S и Т одинаковы, т. е.

Но мы не вправе утверждать, что фазы амплитуд, относящихся к прибору Т, не могут в двух различных ориентациях а и б (фиг. 4.4) различаться.

Пары приборов, показанных на фиг. 4.4, на самом деле от­личаются друг от друга, в чем можно убедиться следующим образом. Предположим, что мы перед прибором S поставили другой, создающий чистое (+ x )-состояние. (Ось х направлена на рисунке вниз.) Эти частицы расщеплялись бы в S на пучки (+ z ) и (- z ), но на выходе S (в точке Р 1 ) оба пучка снова сое­динялись бы и восстанавливали состояние (+ х). Затем то же самое происходило бы в Т. Если бы за Т поставить третий при­бор U, ось которого направлена по (+ х). как показано на фиг. 4.5, а, то все частицы пошли бы в пучок (+) прибора U.

Фиг. 4.5. Частица в состоянии (+х) ведет себя в опытах а и б по-разному.

Теперь представим, что произойдет, если Т и U вместе повер­нуть на 90°, как показано на фиг. 4.5, б. Прибор Т опять будет пропускать все, что в него поступает, так что частицы, входя­щие в U , будут в (+ x )-состоянии по отношению к S. Но U теперь анализирует состояние (+ y ) (по отношению к S), а это совсем не то, что раньше. (Из симметрии следует ожидать, что через него пройдет только половина частиц.)

Что же могло перемениться? Приборы Т и U по отношению друг к другу расположены одинаково. Могла ли измениться фи­зика просто из-за того, что Т и U иначе ориентированы? Нет, гласит наше первоначальное предположение. Значит, разли­чаться в двух случаях, показанных на фиг. 4.5, должны ампли­туды по отношению к Т. То же должно быть, следовательно, и на фиг. 4.4. Частица должна как-то уметь узнавать, что в Р 1она завернула за угол. Как же она может об этом поведать? Что ж, остается только одно: величины С' + и С' + в обоих случаях одинаковы, но могут — а на самом деле должны — обладать разными фазами. Мы приходим к заключению, что С' + и С + дол­жны быть связаны формулой