Ричард Фейнман - 4. Кинетика. Теплота. Звук

PV = (g-1)U. (39.11)

Энергия U умножается на (g-1) для удобства, потому что в дальнейшем нам придется иметь дело с газами, для которых множитель перед U равен не 2/ 3, а какому-то другому числу. Чтобы можно было описывать и такие случаи, запишем этот множитель так, как его обозначают почти сто лет. Тогда в на­шем случае одноатомного газа, такого, как гелий, g= 5/з, потому что 5/ 3-1= 2/з.

Мы уже говорили, что совершаемая при сжатии газа работа равна - PdV. Сжатие, при котором тепло не поглощается и не выделяется, называется адиабатическим сжатием; это слово образовано из трех греческих слов: а(не)+dia(сквозь)+bainein(проходить). (Слово адиабатический употребляется в фи­зике в разных смыслах, так что не всегда можно понять, что между ними общего.) При адиабатическом сжатии вся затрачен­ная работа уходит на изменение внутренней энергии. Вот в этом и смысл, что нет потерь энергии и, значит, PdV=-dU. Но поскольку U=PV/g-1, то можно записать

dU=(PdV+VdP)/(g-1). (39.12)

Итак, PdV =-(PdV+VdP)/ (g-1) или, приводя подобные чле­ны, получаем gPdV=-VdP , или

gdv/v+dp/p=0, (39.1З)

Если мы примем, что g постоянна, а это так в случае одно­атомных газов, то уравнение интегрируется и мы получаем glnV+ lnP =lnC, где С — постоянная интегрирования. Пе­реходя к степеням, мы получаем такой закон:

PV g =C (постоянная). (39.14)

Иначе говоря, если выполнены условия адиабатичности, т. е. потерь энергии нет и газ при сжатии нагревается, то в случае одноатомного газа произведение объема на давление в сте­пени 5/ 3есть величина постоянная! Этот результат мы полу­чили чисто теоретически, но опыт показывает, что и в действи­тельности все происходит именно так.

§ 3. Сжимаемость излучения

Приведем еще один пример из кинетической теории газов; он не особенно интересует химиков, но очень важен для астро­номов. Внутри нагретого до высокой температуры ящика име­ется огромное число фотонов. (В качестве такого ящика надо взять очень горячую звезду. Солнце недостаточно горячо для этих целей. В звезде, правда, слишком много атомов, но если ее температура очень высока, то атомами можно пренебречь и считать, что внутренность звезды целиком заполнена фотонами.) Вспомним теперь, что фотон обладает импульсом р. (При изучении кинетической теории газов мы всегда будем ис­пытывать страшные неудобства: р — это давление, но р— еще и импульс; v — это объем, но это и скорость одновре­менно, а. Т — это и температура, и кинетическая энергия, и время, и момент силы; тут нужен глаз да глаз.) Сейчас буква р— это импульс, вектор. Поступим так же, как и в пре­дыдущем параграфе, за удары фотонов о стенку ответственна x-составляющая импульса, а удвоенная x-составляющая импульса — это импульс, полученный стенкой после каждого удара. Итак, вместо 2mv x пишем 2р х , а при вычислении числа столкновений нужно по-прежнему подставлять v x ; проделав все это, формулу (39.4) для давления мы уже записываем в виде

P=2np x v x . (39.15)

После усреднения мы получим произведение n на среднее зна­чение p x v x (вспомните, что мы говорили о множителе 2), а после того как на помощь будут призваны два других измерения, мы найдем

PV=N< p· v >/3. (39.16)

о

Эта формула почти совпадает с (39.9), потому что импульс ра­вен m v, просто это более общая формула, вот и все. Произведе­ние давления на объем равно произведению полного числа ато­мов на среднее значение 1/ 3( p· v).

Чему равно p· vдля фотонов? Импульс и скорость направ­лены одинаково, а скорость равна скорости света, поэтому интересующее нас произведение — это импульс фотона, ум­ноженный на скорость света. Произведение импульса фотона на скорость света — это энергия фотона: Е=рс. Мы имеем дело с энергией каждого фотона и должны умножить среднюю энергию фотона на число фотонов. Получается одна треть пол­ной энергии:

PV =U i3 (в случае фотонного газа). (39.17)

Для фотонов, следовательно, поскольку впереди стоит 1 / 3 , множитель (g- 1) в (39.11) равен l / 4 , т. е. g= 4/ 3, значит, излучение в ящике подчиняется закону

РV 4/3 =С. ( 39.18)

Таким образом, мы знаем сжимаемость излучения! Можно ис­пользовать эту формулу при анализе вклада излучения в дав­ление внутри звезды, подсчитать давление и оценить, как оно изменяется при сжатии звезды. Просто удивительно, как много мы уже умеем!