Ричард Фейнман - 4. Кинетика. Теплота. Звук

P=-2nmv 2 x . (39.4)

Теперь надо исправить кое-какие неточности: прежде всего не все молекулы имеют одну и ту же скорость и не все они дви­жутся в одном направлении, так что нам приходится иметь дело с разными v 2 x ! Каждая молекула, ударяясь о поршень, вносит свой вклад, поэтому надо взять среднее по всем молеку­лам. Сделав это, мы получим

P=nm 2 x >. (39.5)

А не забыли ли мы множитель 2? Нет, потому что лишь поло­вина атомов движется к поршню. Другие летят в проти­воположную сторону, а усредняя по v 2 x, мы усредняем как по положительным, так и по отрицательным составляющим v x .

Если просто усреднить по v 2 x, получится вдвое больший ре­зультат. Среднее v 2 xдля положительных v x равно половине среднего v 2 xдля всех v x .

Но атомы прыгают в ящике как хотят, и поэтому ясно, что x-направление» для них ничем не отличается от любого дру­гого; они движутся куда угодно: вправо — влево, вверх — вниз, взад — вперед. Поэтому 2 x> (средний квадрат скорости движения в одном направлении) равен среднему квадрату скорости в любом другом направлении

2 x>=2 y>=2 z>. (39.6)

Используем это обстоятельство для небольшого математичес­кого трюка и обнаружим, что каждый из членов в (39.6) равен ихсумме, деленной на три, а сумма — это квадрат величины скорости:

2 x >= 1/ 3 2 x +v 2 y +v 2 z >= 2 >/3. (39.7)

Это очень хорошо, потому что теперь уже не надо заботиться о координатных осях, и формулу для давления можно записать в виде

P= 2/ 3n(mv 2/2). (39.8)

Мы выделили множитель 2/2>, потому что это кинетичес­кая энергия движения молекулы как целого. Итак, мы нашли

PV=N 2/ 3(mv 2/2). (39.9)

Если мы будем знать скорость молекул, то очень быстро под­считаем давление.

В качестве простого примера можно описать такие газы, как гелий, пары ртути или калия при достаточно высокой тем­пературе или аргон; это одноатомные газы, для которых можно считать, что их атомы не имеют внутренних степеней свободы. Если нам попадется сложная молекула, то в ней могут быть всевозможные внутренние движения, всякого рода колебания и т. д. Мы предполагаем, что можно не принимать их в расчет; но можно ли это делать — вопрос сложный и мы к нему вер­немся; в действительности для нашего случая это окажется допустимым. Итак, предположим, что внутреннее движение атомов можно не рассматривать, и поэтому кинетическая энер­гия движения молекулы как целого восполняет всю энергию. Для одноатомного газа кинетическая энергия — действительно полная энергия. Будем обозначать полную энергию буквой U (иногда ее называют полной внутренней энергией, как-будто у газа может быть какая-то внешняя энергия), т. е. всю энергию всех молекул газа или любого другого объекта.

В случае одноатомного газа мы предположим, что полная энергия U равна произведению числа атомов на среднюю кине­тическую энергию каждого из них, потому что мы пренебрегли возможным возбуждением атомов или какими-то внутриатом­ными движениями. Тогда

PV= 2/ 3 U. (39.10)

Немного задержимся и ответим на такой вопрос: предпо­ложим, что мы медленно сжимаем газ; каким должно быть давление, чтобы сжать газ до заданного объема? Определить это легко, так как давление есть энергия, деленная на объем. Но когда газ сжимается, производится работа и поэтому энер­гия газа U возрастает. Процесс сжатия описывается неким диф­ференциальным уравнением. В начальный момент газ занимает определенный объем и обладает определенной энергией, поэ­тому нам известно и давление. Как только мы начинаем сжи­мать газ, энергия U возрастает, объем V уменьшается, а как изменяется давление, нам еще предстоит узнать.

Итак, нам предстоит решить дифференциальное уравнение. Сейчас мы это сделаем. Однако подчеркнем сначала, что, сжи­мая газ, мы предполагаем, что вся работа уходит на увеличение энергии атомов газа. Вы спросите: «А необходимо ли на этом останавливаться? Куда же еще она может уйти?» Но оказыва­ется, что затраченная работа может уйти и в другое место. Энергия может «вытечь» из ящика сквозь стенки: горячие (т. е. очень быстрые) атомы при бомбардировке будут нагревать стенки ящика и энергия выйдет наружу. Но мы предполагаем, что в нашем случае этого не происходит.

Сделаем небольшое обобщение, хотя и в этом случае мы бу­дем рассматривать лишь очень частный случай: запишем вместо PV= 2 / 3 U