Александр Филиппов - Многоликий солитон

Полученный результат можно наглядно изобразить простой музыкальной пьесой (см. рис. 7.3).

Здесь «записаны» моды, которые последовательно звучат на струне, соответствующей нашей системе грузиков. Каждой моде соответствует нота: 1-й — нижнее «до», 2-й — «до» октавой выше и т. д. *). Изображенные нотами моды звучат в отдельные моменты, только громкость мы изобразили длительностью звучания ноты. В два раза более громкая нота звучит у нас в два раза дольше и т. д. На рис. 7.3 представлена только половина «пьесы», далее происходит возвращение к начальному «до» в обратном порядке.

*) Нижнее «до» большой октавы имеет частоту примерно 64 Гц. Будем просто считать, что параметры нелинейной системы грузиков подобраны так, что частота 1-й моды равна 64 Гц.

Итак, вместо ожидаемой какофонии, когда одновременно звучат с одинаковой силой все моды, получается примитивная, но вполне музыкальная пьеса. Нелинейная система ведет себя действительно совершенно неожиданно. На начальное возбуждение она отвечает целой пьесой. Если возбудить систему иначе, скажем, начать со 2-й моды, получится другая пьеска. Не «струна», а небольшой композитор-автомат! Кстати, к современным ЭВМ нетрудно присоединить устройства, которые будут преобразовывать движения струны в такие музыкальные пьесы. Они будут звучать гораздо интересней, чем пьеса, изображенная здесь, так как все переходы от одного аккорда в другой происходят непрерывно, а кроме того, есть небольшая примесь высших мод, которая даст богатый тембр...

Признаемся, что музыкальная аналогия не приходила в голову авторам рассказанной замечательной работы, однако их результат удивителен и без всяких аналогий. Удивил он и нескольких других физиков и математиков, которые начали методично разбираться, в чем тут дело. Особенно заинтересовались явлением Ферми — Пасты — Улама американские физики Мартин Крускал и Норман Забуски, которые познакомились с ним «из первых рук». Они продолжили машинные эксперименты и, кроме того, начали размышлять, не похожа ли нелинейная струна на что-нибудь знакомое. Сначала они просто повторяли численные эксперименты Ферми — Пасты — Улама (мы будем, как это принято, пользоваться сокращением ФПУ). Потом попробовали изучить движения непрерывной струны, в которую переходит цепочка ФПУ при неограниченном увеличении числа грузиков и уменьшении расстояний между ними. После многих проб и ошибок они пришли к удивительному результату — наилучшее описание движений такой нелинейной струны при достаточно малых отклонениях ее от положения равновесия дается уравнением Кортевега — де Фриза!

Вы, конечно, помните, что Кортевег и де Фриз получили свое уравнение при попытке найти точное математическое описание солитона Рассела с небольшой амплитудой. Теперь выясняется, что то же самое уравнение может описывать совершенно другие физические явления. Это, конечно, не случайно. Уравнение КдФ годится для математического описания самых разных нелинейных волн. На самом деле это простейшее уравнение для любых слабо нелинейных и слабо диспергирующих волн.

Если оба эти эффекта (нелинейность и дисперсия) настолько малы, что ими можно пренебречь, то уравнение КдФ описывает волны произвольной формы, бегущие в одном направлении. Иными словами, форма волны y ( t, х ) задается произвольной функцией у ( t, х ) = f ( x - v 0 t ). Для волн на мелкой воде v 0= , где h — глубина. Напомним, что воду можно считать мелкой, если минимальная длина синусоидальных волн (λ), входящих в разложение Фурье функции f , во много раз превышает глубину h . Чтобы не думать о разложении Фурье, можно просто считать, что волна имеет синусоидальную форму.

Если теперь допустить, что имеется малая дисперсия, т. е. что фазовая скорость v синусоидальной волны немного зависит от λ, то простейшая зависимость будет иметь вид (ср. с формулами (5.17), (5.21))

где α — некоторое число, а v 0= . Для уравнения КдФ, описывающего волны на мелкой воде, α = 2/3π 2. Однако для волн в других средах значение α будет другим, а величина h , имеющая размерность длины, будет иметь совсем иной смысл.