Александр Филиппов - Многоликий солитон

Ударная волна в воздухе — очень сложное явление. На фронте ударной волны резким скачком возрастают давление, температура и плотность. Однако плотность не увеличивается выше определенного предела, тогда как давление и температура могут быть огромными. Например, при скачке давления в 100 атмосфер температура фронта волны достигает 3500 градусов. При такой температуре в молекулах возбуждаются сильные внутренние колебания и часть молекул кислорода даже распадается на атомы, возникают химические реакции. При более высокой температуре возникает очень сильное свечение. Апокалиптическое явление ударной волны (огненный шар «ярче тысячи солнц») печально известно из описаний ядерного взрыва, когда температура выше 10 000 градусов, а давление достигает 1000 атмосфер. Не дай нам Бог увидеть эту ударную волну!

Колоссальная ударная волна образовалась при падении знаменитого тунгусского метеорита (30 июня 1908 г.)*). Перед его падением в течение нескольких секунд был виден ослепительно яркий огненный шар, в момент падения раздался оглушительный взрыв, который слышали на расстоянии больше тысячи километров. Воздушная взрывная волна была зарегистрирована даже в Англии! По современным оценкам примерно такую волну вызывает ядерный взрыв в несколько Мегатонн. Однако тунгусская ударная волна не была вызвана ядерным взрывом. Она того же происхождения, что и ударные волны, возникающие при переходе самолетом «звукового барьера». Иными словами, она была вызвана движением небесного тела в атмосфере со сверхзвуковой скоростью. Может быть, это была комета или ее кусок.

*) В конце 40-x — начале 50-x годов лекции о «загадке Тунгусского метеорита» были столь же популярны, как и лекции на тему: «Есть ли жизнь на Марсе?»

Возникновением ударной волны объясняется свечение метеоров (болиды). Светящаяся ударная волна появляется и при торможении спутников в атмосфере. Кстати, в этом случае ударная волна очень полезна — кинетическая энергия спутника уходит на ее образование, и спутник тормозится — ударная волна работает, как парашют. В популярной брошюре А. С. Компанейца «Ударные волны» (М.: ГИФМЛ, 1963), по которой интересующийся читатель может получить более полное представление об ударных волнах, рассказано о случае чудесного спасения советского военного летчика в годы второй мировой войны. Его парашют не раскрылся, и гибель казалась неизбежной. Однако в последний момент как раз под ним взорвалась авиационная бомба. Ударная волна этого взрыва затормозила его падение и спасла жизнь.

К сожалению, большинство исследований ударных волн связано с современным оружием и, откровенно говоря, автору не хочется писать об этом. Вернемся лучше к нашим мирным солитонам.

Посмотрим теперь, как дисперсия вместе с нелинейностью приводят к образованию солитона. Наш первоначальный горбик (кривая 1 , рис. 7.4) можно представить в виде суммы гармоник. Длина волны основной гармоники примерно равна удвоенной ширине горбика. Длины волн высших гармоник, сложение которых с основной приводит к образованию горбика конечной ширины, больше длины основной, а значит, они бегут вперед с большей скоростью. В результате увеличение крутизны переднего фронта, вызванное нелинейностью, смягчается, а при определенной форме и скорости горбика может полностью скомпенсироваться этим эффектом. Тогда-то и получается солитон. Если первоначальный горбик достаточно высокий, то он сначала может распасться на несколько горбиков, которые породят несколько солитонов. Если он очень низкий, то он просто расползется вследствие дисперсии.

Соотношение между эффектами дисперсии и нелинейности можно выразить с помощью простой формулы. Прежде чем написать ее, посмотрим на точное решение КдФ-уравнения, описывающее солитон,

Здесь v = v 0[1 + ( y 0/2 h )], а величина l определяется из соотношения

Это условие и выражает равновесие между эффектами нелинейности и дисперсии в солитоне. Хотя параметр S был известен уже Стоксу, его значение для теории солитонов было выяснено лишь в наше время.

Происхождение условия (7.2) можно понять, если вспомнить, что нелинейность увеличивает скорость движения вершины горбика на величину порядка v 0 y 0/ h , а дисперсия замедляет ее движение на величину порядка v 0 h 2/ l 2(напомним, что положение вершины горбика определяется основной гармоникой, длина волны которой примерно равна 4 l ). Эффекты нелинейности и дисперсии компенсируются, если эти добавки к скорости примерно равны, что и приводит к условию (7.2).