Александр Филиппов - Многоликий солитон

Точно так же, исходя из определения скорости равномерного движения v = ( x 2- x 1)/( t 2- t 1), можно написать для нее формулу размерности [ v ] = LT -1. Она просто означает, что при увеличении всех расстояний в c Lраз и всех промежутков времени в c Траз скорость умножится на число c L/c T. Обычно когда записываются формулы для физических величин, они всегда сопровождаются указанием на единицы измерения ( S [см 2], v [см • с -1] и т. д.). Это указание одновременно дает нам и размерность величины. Так как ускорение измеряется, скажем, в см • c -2, то формула размерности для ускорения есть, очевидно, [α] = LT -2.

Аналогично легко найти формулы размерности для силы [F] = MLT -2, для энергии [Е] = ML 2T -2и для других производных величин. Показатели степеней в формулах размерности называются показателями размерности. С ними можно обращаться, как с обычными показателями степени.

Например, возьмем формулу «сила = масса × ускорение». Если увеличить все линейные размеры в c Lраз, промежутки времени в c Tраз и массы в с Mраз, то ускорение увеличится в c L/c 2 Tраз, а сила в с Mc L/c 2 Tраз. Это мы и запишем с помощью формулы для силы. Очевидно, что ее можно получить и так: [F] = М [а] = MLT -2, т. е. с формулами размерности можно обращаться, как с обычными формулами.

Принцип однородности по размерностям требует чтобы обе части равенства, выражающего физический закон, имели одинаковые формулы размерности . Это правило хорошо известно и используется для проверки правильности полученных при вычислениях соотношений. Если мы, например, вычисляли объем какой-то сложной фигуры и получили для него выражение, измеряемое в квадратных сантиметрах (размерность L 2), то нужно искать ошибку в вычислениях. Особенно интересно, однако, обратное применение этого принципа для получения самих формул.

Получим, например, закон Галилея для свободного падения тела. Пройденный за время падения t путь s может зависеть еще от массы тела m и от действующей на него силы mg. Мы можем предположить поэтому, что s = kt dm b(mg) с, где d, b, с, k — некоторые числа. Формула размерности для правой части есть T dM b+c[α с] = M b+cT d-2cL с. Формула размерности для левой части [s] = L. Приравнивая показатели размерности, находим с = 1, d - 2с = 0, b + с = 0, т. е. d = 2, b = -1, так что s = kgt 2, где k — неизвестное число. Его уже нельзя определить из соображений подобия и размерности.

Найдем формулу Гюйгенса для линейных колебаний маятника. Период Т может зависеть от длины l , массы грузика m и действующей на грузик силы f , т. е. Т = dm af bl c . Отсюда находим уравнение размерностей [ Т ] = M α +b L b+cT -2b, т. е. а + b = 0, b + с = 0, -2b = 1. для периодов колебаний получаем формулу

При f = mg получается формула Гюйгенса, но с неизвестным множителем d .

Интересно, что этим способом мы получили более общую формулу для периода колебаний, которая годится не только для маятника в поле силы тяжести. Например, если грузик имеет электрический заряд q и помещен в однородное и постоянное электрическое поле Е между обкладками конденсатора, то на него действует сила f = mg + qE . Зная формулу Гюйгенса, мы определяем d и для маятника в электрическом поле сразу находим период колебаний

Конечно, таким простым способом можно получить полный ответ далеко не всегда. Рассмотрим нелинейные колебания маятника в поле силы тяжести. Теперь зависимостью периода от амплитуды, как мы сделали это выше, пренебречь нельзя. Небольшое размышление показывает, что наши рассуждения остаются верными, но d нельзя считать просто числом — d оказывается функцией безразмерного выражения, зависящего от амплитуды колебания, например, от отношения длины дуги s M= l φ Mк длине маятника l . Таким образом, для периода произвольных колебаний получаем

Так как при малых значениях φ Mдолжно быть d 1, то функция d (φ M) удовлетворяет условию d (φ M) → 1 при φ M→ 0.

Легко сообразить, что d (φ M) 1. Действительно, [sin φ] [φ] и возвращающая сила для нелинейного маятника всегда меньше, чем для линейного маятника. Нелинейная сила дает меньшее ускорение грузику на всем пути, а значит, период нелинейного колебания всегда больше периода линейного колебания. Это отличие возрастает с ростом амплитуды φ M. Можно доказать, что d (φ M) возрастает с ростом φ M и что период неограниченно возрастает, если φ M→ π.