Митио Каку - Гиперпространство - Научная одиссея через параллельные миры, дыры во времени и десятое измерение

Гаусс относился к евклидовой геометрии с таким подозрением, что даже провел оригинальный эксперимент, чтобы проверить ее. Вместе с помощниками он поднялся на три горных вершины – Брокен, Хохехаген и Инзельсберг. С каждой из них были отчетливо видны две другие вершины. Построив между вершинами треугольник, Гаусс смог экспериментальным путем измерить его внутренние углы. Если евклидова геометрия верна, тогда сумма этих углов должна составлять 180º. К своему разочарованию, Гаусс обнаружил, что сумма углов действительно равна 180º (плюс-минус 15 минут). Примитивность измерительного оборудования не дала ему убедительно доказать, что Евклид заблуждался. (Сегодня нам известно, что этот эксперимент следовало проводить между тремя разными звездными системами, чтобы выявить значимые отклонения от евклидова результата.)

Следует также указать, что математики Николай Иванович Лобачевский и Янош Бойяи независимо друг от друга открыли неевклидову математику для изогнутых поверхностей. Но их построения ограничивались обычными низшими измерениями.

Процитировано в: Белл «Математики», с. 497.

Британский математик Уильям Клиффорд, который переводил знаменитую речь Римана для журнала Nature в 1873 г., разъяснил многие основополагающие труды Римана и был, вероятно, первым, кто развил его мысль о том, что искривление пространства вызывает возникновение электромагнитного взаимодействия, придав тем самым идеям Римана более четкую форму. Клиффорд высказал предположение, что эти два таинственных открытия в математике (многомерные пространства) и физике (электричество и магнетизм) – в сущности, одно и то же и что электромагнитное взаимодействие вызвано искривлением многомерного пространства.

Так впервые за 50 лет до Эйнштейна была высказана догадка о том, что сила – не что иное, как искривление самого пространства. Предположение Клиффорда о том, что электромагнетизм вызывают колебания в четвертом измерении, предшествовало работе Теодора Калуцы, который также пытался объяснить электромагнетизм высшими измерениями. Таким образом, Клиффорд и Риман предвосхитили открытия ученых XX в., догадавшись, что многомерное пространство способно дать простое и элегантное описание взаимодействий. Впервые было верно оценено истинное физическое значение высших измерений – как теории пространства , дающей нам объединяющую картину взаимодействий .

Эти пророческие взгляды были изложены математиком Джеймсом Сильвестром, который в 1869 г. писал: «Мистер Клиффорд позволил себе высказать примечательные предположения касательно способности человека на основании некоторых необъясненных явлений света и магнетизма сделать вывод о том, что наше трехмерное пространство подвергается воздействию пространства четырех измерений… аналогично бумаге, которую комкают» (процитировано в: Хендерсон «Четвертое измерение и неевклидова геометрии в современном искусстве», с. 19).

В 1870 г. в статье с интригующим названием «О пространственной теории вещества» Клиффорд напрямую пишет, что «эта разновидность искривления пространства – то, что в действительности происходит при явлении, которое мы называем движением материи , будь она осязаемой или неосязаемой». (Клиффорд Уильям «О пространственной теории вещества» (William Clifford, On the Space-Theory of Matter, Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 2, 1876: 157–158).

А точнее, в условиях N измерений риманов метрический тензор g μѵпредставляет собой матрицу N×N , определяющую расстояние между двумя точками, так что бесконечно малое расстояние между двумя точками дается выражением ds ² = ∑ dx μ g μѵ dx ѵ. В ограниченном плоском пространстве риманов метрический тензор становится диагональным, т. е. g μѵ= δ μѵ, в итоге все формулы сводятся к теореме Пифагора для N измерений. Отклонение метрического тензора от δ μѵ, грубо говоря, показывает, насколько пространство отличается от плоского. На основании метрического тензора можно построить риманов тензор кривизны, представленный R β μѵα.

Искривление пространства в любой данной точке можно измерить, нарисовав в этой точке окружность и измерив ее площадь. В плоском двумерном пространстве площадь круга равна π r ². Но в условиях положительной кривизны, например, на сферической поверхности, эта площадь меньше π r ². А если кривизна отрицательная и поверхность седлообразная или воронкообразная, площадь круга больше π r ².