Ричард Мюллер - Сейчас. Физика времени

В моей преподавательской практике я видел немало хороших и умных студентов, терпение которых лопалось, когда начиналось изучение мнимых чисел. Как можно работать с тем, чего нет? При встрече с мнимыми числами практически у всех возникает ощущение, что такая математика становится слишком абстрактной, чересчур оторванной от реальности, чтобы ее можно было понять.

В духе отрицания пресловутого «научного языка» я объявляю, что мнимые числа совсем не воображаемые. Квадратный корень из −1 (√−1) в действительности существует. Чтобы понять, каким образом, давайте посмотрим на другие абстрактные числа. Существует ли 0? Древние римляне говорили, что нет. Они полагали самоочевидным, что ничто не может существовать. Как итог – в римских цифрах нет нуля. Римлянин, записывающий вычитание IV из IV, в качестве результата просто оставлял пустое место. Но как пустое место в качестве результата отличить от нерешенной задачи? Идея использования символа, обозначающего ничто , была бы для римлян слишком большим шагом вперед, который они так и не сделали (если только вы не считаете Птолемея римлянином). Предполагаю, что в то время некоторые математики (или, может быть, счетоводы) настаивали на введении такого символа: просто он был бы полезен. Но концептуально римлянам трудно было принять обозначение символом того, что было ничем . Нуль (0) ведь в реальности не существует, не так ли? Ведь он есть только в нашем воображении, правильно? Он ведь мнимый , верно?

Древние греки были на удивление более продвинутыми в математике. Архимед вывел формулу объема шара: 4/3π R ³. Попробуйте вывести ее самостоятельно без дифференциальных вычислений. И все же даже у греков не было знака для обозначения нуля, по крайней мере до 130 года н. э., когда Птолемей в Александрии ввел его в ограниченное употребление. Греки, как и римляне, оставляли на месте нуля пустое место.

Когда моей дочери было пять лет, мы нередко развлекались незатейливой игрой. Я спрашивал: «Кто на заднем сиденье машины?» Она отвечала: «Никто». – «У этого “никого” окно открыто?» – «Нет». – «Но у меня-то окно открыто. Как же ты можешь говорить, что окно не открыто ни у кого?» «Папа!» – возмущалась дочь. И несмотря на свое расстройство, продолжала игру в слова. Это занятие ей нравилось, но она тогда еще не понимала, что я готовлю ее к абстрактной математике.

А как насчет отрицательных чисел? Вспоминаю учительницу математики в седьмом классе (она была самым плохим педагогом за всю мою жизнь), которая говорила, что отрицательных чисел не существует. «Просто притворитесь, что они есть», – твердила она. К счастью, я был довольно развитым учеником и поэтому решил, что она ошибается. Помню, как убеждал себя: «Отрицательное число похоже на то, что ты кому-то должен» . Однако, полагаю, ее совет по поводу отношения к отрицательным числам знаменовал собой конец математики для половины класса. Многие мои соученики никогда больше не испытывали комфорта, производя операции с числами, которых не было. Для меня отрицательные числа существовали всегда.

В седьмом классе я уже сделал для себя вывод: числа не вещи, а мысленные категории, полезные при вычислениях. Существует ли какое-либо число в реальности? Или это просто абстракции, которые мы используем, чтобы правильно организовывать свои мысли? Вообще-то это философский вопрос, имеющий отношение к сути существования: им переполнены книги и статьи. (На моем рабочем столе оказалось издание под названием Does Santa Exist? [74]Эта серьезная книга раскрывает смысл слова «существовать».) Мы вернемся к этому при обсуждении некоторых новых идей в физике, которые могут или не могут существовать . Одной из них будет квантовая волновая функция. Другой – радиус Шварцшильда для черных дыр.

Древние греки верили (именно верили), что существуют только целые числа. Они считали эту истину очевидной. Греки думали, что все остальные числа могут быть записаны как дроби, или отношения целых чисел, например 22/7. Пифагора считают открывшим такие отношения в музыке: это тоны. «Октава» означает, что соотношение частот между соседними звуками составляет 1:2 (на длине вибрирующей струны). Этот музыкальный интервал называется октавой [75]потому, что включает в себя восемь нот. Музыкальный интервал квинта [76]шириной в 5 нот имеет соотношение частот рядом расположенных звуков, равное 3:2. Кварта [77], музыкальный интервал в 4 ступени, имеет соотношение 4:3.