Стивен Вайнберг - Пояснюючи світ

Найперше цю теорему викладено в роботі Вільяма Гейтсбері (ректора Оксфордського університету в 1371 році) Regulae solvendi sophismata («Правила розв’язання софізмів»). Він визначив швидкість у будь-який момент нерівномірного руху як відношення пройденої відстані до часу, що мав би пройти, якби рух був рівномірний із такою швидкістю. У такому вигляді це визначення містить логічну тавтологію, а отже, є непридатним. Сучасніше визначення, яке Гейтсбері, можливо, і мав на увазі, полягає в тому, що швидкість у будь-який момент нерівномірного руху є відношенням пройденої відстані до часу, що мав би пройти, якби швидкість була така сама, як у дуже короткий проміжок часу в цей момент – такий короткий, що зміною швидкості в цей проміжок часу можна знехтувати. Після цього Гейтсбері визначив рівномірно прискорений рух як нерівномірний рух, за якого швидкість зростає на однакову величину за кожний рівний проміжок часу. Далі він перейшов до викладу самої теореми15:

Коли будь-яке рухоме тіло рівномірно прискорюється зі стану спокою до якогось заданого градуса [швидкості], воно в цей час проходитиме половину відстані, яку проходило б, якби протягом того самого часу рівномірно рухалося з максимальним градусом швидкості. Бо цей рух загалом відповідатиме середньому зростанню градуса швидкості, який становить точно половину того градуса швидкості, який є її кінцевою швидкістю.

Тобто відстань, пройдена у проміжок часу, коли тіло рівномірно прискорюється, є відстанню, яку воно пройшло б за рівномірного руху, якби його швидкість у цей проміжок дорівнювала середній від фактичної швидкості. Якщо щось рівномірно прискорюється зі стану спокою до якоїсь кінцевої швидкості, тоді його середня швидкість у цей проміжок часу становить половину кінцевої швидкості, тому пройдена відстань становить половину добутку кінцевої швидкості на витрачений час.

Різноманітні доведення цієї теореми пропонували Гейтсбері, Джон Дамблтон, а потім і Нікола Орезмський. Доведення Орезмського найцікавіше, бо він запровадив спосіб відображення алгебраїчних співвідношень у графіках. Так він зумів звести проблему розрахунку відстані, пройденої тілом, коли воно рівномірно прискорюється зі стану спокою до якоїсь кінцевої швидкості, до проблеми розрахунку площі прямокутного трикутника, катети якого мають довжину, що дорівнює відповідно витраченому часу та кінцевій швидкості (див. технічну примітку 17). Тоді теорема про середній градус швидкості випливає безпосередньо з елементарного факту геометрії, що площа прямокутного трикутника дорівнює половині добутку довжин його катетів.

Ані жоден із керівників Мертон-коледжу, ані Нікола Орезмський, схоже, не застосовували теорему про середній градус швидкості до найважливішого випадку, де вона має значення, – до руху тіл, що вільно падають. Для них ця теорема була інтелектуальною вправою, покликаною показати, що вони здатні описати нерівномірний рух математично. Якщо теорема про середній градус швидкості свідчить про те, що можливості застосування математики зросли, то вона також демонструє, як нелегко було узгодити математику з природничими науками.

Потрібно визнати: хоч очевидно (як демонстрував ще Стратон), що, падаючи, тіла прискорюються, зовсім не очевидно, що швидкість тіл, які падають, зростає пропорційно часу, що характерно для рівномірного прискорення, а не відстані падіння. Якби рівень зміни відстані під час падіння (тобто швидкість) був пропорційний цій відстані, то відстань після того, як тіло починає падати, зростала би по експоненті з часом [33], так само, як банківський рахунок, відсотки на який нараховуються пропорційно зростанню суми на рахунку по експоненті з часом (хоч, якщо відсоткова ставка низька, для розуміння цього потрібен тривалий час). Першим, хто здогадався, що зростання швидкості тіл, які падають, пропорційне витраченому часу, схоже, був домініканський чернець XVI століття Домінго де Сото16 приблизно за два століття після Ніколи Орезмського.

Від середини XIV до середини XV століття Європа була занурена у справжню катастрофу. Столітня війна між Англією та Францією виснажила першу та спустошила другу. Церква переживала розкол – з одним папою в Римі, а іншим – в Авіньйоні. Усюди велику частину населення викосила чума.

Можливо, через Столітню війну центр наукової роботи перемістився в цей період на схід – із Франції та Англії до Німеччини та Італії. Саме в цих двох країнах формував свою кар’єру Нікола Кузанський (народився близько 1401 року в містечку Куза на Мозелі в Німеччині, помер у 1464 році в умбрійській провінції Італії). Здобувши освіту в Гейдельберзі та Падуї, він став правником-каноником, дипломатом, а після 1448 року – кардиналом. Його роботи свідчать, що середньовічна проблема відокремлення природничих наук від теології та філософії нікуди не поділася. Доволі розпливчасто він писав про рухому Землю та світ без меж, але не використовував математики. Хоч пізніше його цитували Кеплер і Декарт, складно зрозуміти, як вони могли навчитися чогось від нього.